泛函分析
一，距離空間
定義1.1.1設x是任一非空集合，對於x中的任意兩點x,y，均有乙個實數d(x,y)與它對應，且滿足：
1）d(x,y)≥0（非負性）
2）d(x,y)=0當且僅當x=y(嚴格正)
3）d(x,y)=d(y,x)
4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）
則稱d(x,y)為x中的乙個距離，定義了距離d的集合稱為乙個距離空間，記為（x,d），有時簡記為x。
1.2設（x,d）是乙個距離空間，x中的乙個數列，存在x中的任意點，如果當n趨於無窮時，這個數列按照距離收斂到這個點，則稱這個數列以這點收斂。
1.3d(x,y)是x,y的二元函式，若當存在乙個x的數列收斂到x,存在乙個y的數列收斂到y，則這個距離關於x,y的二元函式也收斂。(利用三角不等式證明)
2.1開球的定義
（x,d）是乙個距離空間，r>0，集合b(x0,r)=的交不為空集。（聚點一定是接觸點，但接觸點不一定是聚點。）
稠密集：稱b在a中稠密，若a包含於b的閉包。
可分：乙個空間稱為可分的，若這空間中存在乙個可數的稠密子集。
列緊集：稱a為列緊集，若a中的每乙個無窮點列都有乙個收斂的子列。
如果x是列緊集，那麼x一定是有界集。反之不一定。
一致有界：即存在k>0,使得對於每一點t∈[a,b]及一切x∈a，
x(t)|≤k
等度連續：對於任意的ε>0，存在δ>0,當|t1-t2|<δ時，
x(t1)-x(t2)|<ε (任意x∈a)
完備的距離空間：稱x是完備的距離空間，若x中的任意柯西列都收斂。
完備空間的任一閉子空間的都是完備的。
列緊空間是完備的距離空間。
完備距離空間的性質：閉球套定理，壓縮對映原理（banach不動點定理）。
泛函分析複習與總結
2014年6月26日星期四 10 20 11 50 第一部分空間及其性質 泛函分析的主要內容分為空間和運算元兩大部分.空間包括泛函分析所學過的各種抽象空間,函式空間,向量空間等,也包括空間的性質,例如完備性,緊性,線性性質,空間中集合的各種性質等等。以下幾點是對第一部分內容的歸納和總結。一 空間 1...
泛函分析題目
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