泛函分析模擬試題
一、 敘述題
1、 在度量空間中，列緊集、完全有界集的定義及二者之間的關係
列緊集：設是度量空間的乙個子集，若在中有乙個收斂子列，則稱為列緊集；
完全有界集：是度量空間的乙個子集，，都存在的乙個有窮網，則稱為完全有界集。
關係：列緊集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列緊集：但在完備的度量空間中，列緊集與完全有界集等價（即）
2、 在歐式空間中，有界集、完全有界集和列緊集三者之間的關係；緊集與有界閉集的關係
在歐式空間中，有界集完全有界集列緊集， 緊集有界閉集
二、 證明題：
1、 線性運算元在上連續在上有界。
證充分性：因為在上有界，故，即，故在點連續，從而在上連續；
必要性：若在無界， 令， 則，即。又因為連續，故，這與矛盾，故假設不成立，即在上有界。
2、 求證為空間。（其中為空間，為空間）
證顯然是乙個線性空間，茲證是範數：
；；。再證完備性。設為基本列，由，有，有，說明為中的基本列，而為空間，記。我們要證，不難看出是線性的，再證其有界。事實上，使得
即得。3、 hilbert空間中的正交投影運算元為線性有界運算元。
證設閉線性子空間，依正交分解定理，，存在唯一的分解，使得 。
記稱為正交投影運算元。
①是線性運算元令則
②有界性有； 由①和②知，是有界的線性運算元。
三、 s是由一切序列組成的集合，在s中定義距離為
，求證s是乙個完備的距離空間。
證先證s是距離空間：
當且僅當；
即s是乙個以為距離的距離空間,記作；
再證距離空間是完備的： 取基本列若
(當),則(當).
於是存在.因此, ,取,使得
,再取,使當時有
便得到其中. 於是s是乙個完備的距離空間。
四、 附加題
開對映定理() 設都是空間，若是乙個滿射，則是開對映。
hahn—banach延拓定理() 設是空間，是的線性子空間，是定義在上的有界線性泛函，則在上必有有界線性泛函滿足：
其中表示在上的範數。
閉影象定理() 設都是空間，若是的閉線性運算元，並且是閉的，則是連續的。
共鳴定理() 設是空間，是空間，如果
，那麼存在常數，使得。
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