(2023年6月26日星期四 10:20---11:50)
第一部分空間及其性質
泛函分析的主要內容分為空間和運算元兩大部分. 空間包括泛函分析所學過的各種抽象空間, 函式空間, 向量空間等, 也包括空間的性質, 例如完備性, 緊性, 線性性質, 空間中集合的各種性質等等。以下幾點是對第一部分內容的歸納和總結。
一．空間
（1）距離空間 （集合+距離）
！驗證距離的三個條件：稱為是距離空間，如果對於
(i) 【非負性】，並且當且僅當【正定性】；
(ii) 【對稱性】；
(iii) 【三角不等式】。
距離空間的典型代表：空間、空間、所有的賦範線性空間、所有的內積空間。
（2）賦範線性空間 （線性空間 + 範數）
！驗證範數的三個條件：稱為是賦範線性空間，如果是數域（或）上的線性空間，對於和，成立
(i) 【非負性】，並且當且僅當【正定性】；
(ii) 【齊次性】；
(iii) 【三角不等式】。
賦範線性空間的典型代表：空間（）、空間（）、空間（）、空間（）、空間、空間、banach空間、所有的內積空間（範數是由內積匯出的範數）。
（3）內積空間 （線性空間 + 內積）
！驗證內積的四個條件：稱為是內積空間，如果是數域（或）上的線性空間，對於和，成立
(i) 【非負性】，並且當且僅當【正定性】；
(ii) 【第一變元可加性】；
(iii) 【第一變元齊次性】；
(iv) 【共軛對稱性】。
內積空間的典型代表：空間（）、空間（）、空間、空間。
注. 1) 從概念的外延來理解, 有如下的關係:
.2) 內積可匯出範數, 範數可匯出距離, 反之未必. 例如在賦範線性空間中, 如果範數滿足平行四邊形公式, 則由範數可以定義內積.
3) 在距離空間中， ，當；
賦範線性空間中， ，當；
內積空間中， ，當.
重點. ！ 要求會驗證距離, 範數和內積.
二．完備性，稠密性，可分性
（1）！完備性
距離的完備性是指「空間中的任何基本列都是收斂的」
具有完備性的距離空間稱為完備距離空間；完備的賦範線性空間稱為banach空間；完備的內積性空間稱為hilbert空間.
重點. 驗證乙個距離是否完備是泛函分析基本的技能。
注. 距離空間的*完備化不是本課程的重點.
（2）稠密性
若, 則稱在中稠密. 當時, 也稱是的稠密子集.
關於在中稠密的等價命題:
在中稠密, 存在, 使得;
,. （3）！可分性
如果有可數的稠密子集, 則稱具有可分性. 類似地可以定義可分的距離空間, 可分的賦範線性空間, 可分的內積空間等. 不具有可分性的空間稱為不可分空間.
可分空間的典型代表：空間（）、空間（）、空間（）、空間（）、空間、空間.
不可分空間的典型代表：空間、空間.
重點. 要求會找出具體的可分空間中可數稠子集. 掌握不可分空間的證明方法.
！不可分空間的證明方法: 如果空間中含有乙個不可數子集, 且其中任何兩個不同點之間的距離大等於乙個確定的正數, 則是不可分的.
（例如中這樣的集合是分量為零和1的無窮維向量全體；中這樣的集合是上的集特徵函式全體）
三空間中的集合
（1）開集、閉集、有界集、無界集；
（2）疏朗集、稠密集；
（3）列緊集！、完全有界集！、緊集.
具體空間中列緊集的判別條件：
a．和或有限維賦範線性空間中：weierstrass定理（有界集是列緊集）;
b. ！中： arzela-ascoli定理（一致有界且等度連續）；
（4）內積空間中的正交集， ！正交基.
parseval恒等式、bessel不等式。
（5）有限維賦範線性空間的性質：
1. 有界集即列緊集；
2. 有限維賦範線性空間中任何兩個範數都是等價的。
四具體的空間
已經學過的具體空間有：
◆ 空間（）;
◆ 空間（）;
◆ 空間（）;
◆ 空間（）;
◆ 空間;
◆ 空間。
注. 1. 要求掌握每個具體空間中收斂的含義；(例如有限維賦範線性空間中點列按範數收斂意味著每個分量收斂、點列的收斂意味著函式列的一致收斂等等)。
2. ！要求掌握列緊集的判別方法（僅限於有限維賦範線性空間中weierstrass定理和空間中的arzela-ascoli定理）；
3. ！要求掌握具體空間中距離或範數完備性的證明方法；（的完備性證明不作要求）
4. 會用holder不等式、minkowski不等式、cauchy不等式、schwartz不等式和bessel不等式等；
5. 具體空間的共軛空間， 僅限於要求掌握：
！空間（）的共軛空間（泛函的表示形式，等距同構，證明不作要求）；
空間（）的共軛空間（泛函的表示形式，等距同構，證明不作要求）；
第二部分對映運算元泛函
泛函分析的主要內容分為空間和運算元兩大部分. 運算元部分包括泛函分析所學過的各種抽象或具體的對映，運算元，泛函等。也涉及到與之相關的性質和眾多重要的定理, 例如共鳴定理，閉影象定理，開對映定理以及泛函延拓定理等等。
以下幾點是對第二部分內容的歸納和總結。
一. 泛函分析中的對映
在泛函分析中, 對映
當是空間時稱為運算元; 當是空間,是數域(或)時稱為泛函;
當是線性空間時, 主要考慮線性運算元:
, ,;
泛函分析中的非線性對映:
1. *壓縮對映:, 其中. banach不動點定理.
2. *緊集上的連續泛函(對照數學分析中有限閉區間上的連續函式的性質).
二. 有界線性運算元
（1）是由對映到的有界線性運算元全體所組成的賦範線性空間（尤其是當是banach空間時也是banach空間）；
（2）有界線性運算元列的收斂：
運算元列的按運算元範數收斂：；
運算元列的強收斂： 對於每乙個，；
（參見banach-steinhaus定理，p59）
（3）重要定理
開對映定理、逆運算元定理；
！共鳴定理、 ！一致有界定理、 ！banach-steinhaus定理；
閉影象定理、
！範數等價性定理（p63引理1）；
注. 重點在於定理的理解和應用，定理的證明通常不作要求。
（4）共軛運算元
共軛運算元的定義（）以及簡單性質；
重要例項：*以為核的積分運算元的共軛運算元、 ！左位移（右位移）運算元的共軛運算元。
（5）具體的線性運算元
● ！以為核的積分運算元；
● ！由變上限積分所定義的運算元；
● 微分運算元；
● ！由到的左位移（右位移）運算元.
注. 線性運算元的有界性等價於連續性.
重點. 要求掌握：驗證運算元有意義、驗證線性性質、驗證線性運算元是有界的、 ！會求較為簡單的運算元或泛函的運算元範數。
三. 有界線性泛函
（1）的概念和簡單性質 ().
（2）的概念和簡單性質: 在等距同構（自然投射）的意義下可以視為的子空間（），當在等距同構意義下與相等時，稱為自反空間；
（3）的例項：！空間（）的共軛空間（泛函的表示形式，等距同構，證明不作要求）；
空間（）的共軛空間（泛函的表示形式，等距同構，證明不作要求）；
（3）泛函列的收斂： 設，
按運算元範數收斂於（稱為強收斂）：；
弱收斂於： 對於每乙個：；
弱*收斂於： 對於每乙個：。
注. 1. 當是自反空間時，弱收斂與弱*收斂等價。
2. 對於泛函列的弱收斂，也有相應的banach-steinhaus定理。
（4）點列的收斂：
◆ 在賦範線性空間中，設，
按範數收斂於（稱為強收斂）：；
弱收斂於： 對於每乙個：；
弱*收斂於： 對於每乙個：。
◆ 在hilbert空間中，設，
按範數收斂於（也稱為強收斂）：；
弱收斂於等價於對於每乙個，
（請參考frechet-riesz表示定理（p107定理3）未學，不要求）。
（4） ！泛函延拓定理及其推論
注. 泛函延拓定理及其推論是重點內容，但體現在定理的應用上。
（5）*弱列緊性
alaoglu定理（p74）、eberlein定理（p74定理9：自反空間的單位球是弱列緊的）
請注意：
「！」表示是本課程所考察的重點內容，須引起特別注意！
「*」表示不是本課程的重點內容或必考內容.
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