一次函式的圖象和性質
一、知識要點:
1、一次函式:形如y=kx+b (k≠0, k, b為常數)的函式。
注意:(1)k≠0,否則自變數x的最高次項的係數不為1;
(2)當b=0時,y=kx,y叫x的正比例函式。
2、圖象:一次函式的圖象是一條直線,
(1)兩個常有的特殊點:與y軸交於(0,b);與x軸交於(-,0)
(2)由圖象可以知道,直線y=kx+b與直線y=kx平行,例如直線:y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。
3、性質:
(1)圖象的位置:
(2)增減性
k>0時,y隨x增大而增大
k<0時,y隨x增大而減小
4.求一次函式解析式的方法
求函式解析式的方法主要有三種
(1)由已知函式推導或推證
(2)由實際問題列出二元方程,再轉化為函式解析式,此類題一般在沒有寫出函式解析式前無法(或不易)判斷兩個變數之間具有什麼樣的函式關係。
(3)用待定係數法求函式解析式。
「待定係數法」的基本思想就是方程思想,就是把具有某種確定形式的數學問題,通過引入一些待定的係數,轉化為方程(組)來解決,題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的係數,一般就需列出幾個含有待定係數的方程,本單元構造方程一般有下列幾種情況:
①利用一次函式的定義
構造方程組。
②利用一次函式y=kx+b中常數項b恰為函式圖象與y軸交點的縱座標,即由b來定點;直線y=kx+b平行於y=kx,即由k來定方向 。
③利用函式圖象上的點的橫、縱座標滿足此函式解析式構造方程。
④利用題目已知條件直接構造方程 。
二、例題舉例:
例1.已知y=,其中=(k≠0的常數),與成正比例,求證y與x也成正比例證明:∵與成正比例,
設=a(a≠0的常數),
∵y=, =(k≠0的常數),
∴y=·a=akx,
其中ak≠0的常數,
∴y與x也成正比例。
例2.已知一次函式=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸交點的縱座標為-1,判斷=(3-)是什麼函式,寫出兩個函式的解析式,並指出兩個函式在直角座標系中的位置及增減性。
解:依題意,得
解得 n=-1,
∴=-3x-1,
=(3-)x, 是正比例函式;
=-3x-1的圖象經過第
二、三、四象限,隨x的增大而減小;
=(3-)x的圖象經過第
一、三象限,隨x的增大而增大。
說明:由於一次函式的解析式含有待定係數n,故求解析式的關鍵是構造關於n的方程,此題利用「一次函式解析式的常數項就是圖象與y軸交點縱座標」來構造方程。
例3.直線y=kx+b與直線y=5-4x平行,且與直線y=-3(x-6)相交,交點在y軸上,求此直線解析式。
分析:直線y=kx+b的位置由係數k、b來決定:由k來定方向,由b來定與y軸的交點,若兩直線平行,則解析式的一次項係數k相等。例 y=2x,y=2x+3的圖象平行。
解:∵y=kx+b與y=5-4x平行,
∴k=-4,
∵y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交於y軸,
∴b=18,
∴y=-4x+18。
說明:一次函式y=kx+b圖象的位置由係數k、b來決定:由k來定方向,由b來定點,即函式圖象平行於直線y=kx,經過(0, b)點,反之亦成立,即由函式圖象方向定k,由與y軸交點定b。
例4.直線與x軸交於點a(-4,0),與y軸交於點b,若點b到x軸的距離為2,求直線的解析式。
解:∵點b到x軸的距離為2,
∴點b的座標為(0,±2),
設直線的解析式為y=kx±2,
∵直線過點a(-4,0),
∴0=-4k±2,
解得:k=±,
∴直線ab的解析式為y=x+2或y=-x-2.
說明:此例看起來很簡單,但實際上隱含了很多推理過程,而這些推理是求一次函式解析式必備的。
(1)圖象是直線的函式是一次函式;
(2)直線與y軸交於b點,則點b(0,);
(3)點b到x軸距離為2,則||=2;
(4)點b的縱座標等於直線解析式的常數項,即b=;
(5)已知直線與y軸交點的縱座標,可設y=kx+,
下面只需待定k即可。
例5.已知一次函式的圖象,交x軸於a(-6,0),交正比例函式的圖象於點b,且點b在第三象限,它的橫座標為-2,△aob的面積為6平方單位,求正比例函式和一次函式的解析式。
說明:(1)此例需要利用正比例函式、一次函式定義寫出含待定係數的結構式,注意兩個函式中的係數要用不同字母表示;
例6.已知正比例函式y=kx (k<0)圖象上的一點與原點的距離等於13,過這點向x軸作垂線,這點到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等於30,求這個正比例函式的解析式。
分析:畫草圖如下:
則oa=13,=30,
則列方程求出點a的座標即可。
解法1:設圖象上一點a(x, y)滿足
解得:;;;
代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.
∴y=-x或y=-x。
解法2:設圖象上一點a(a, ka)滿足
由(2)得=-,
代入(1),得(1+)·(-)=.
整理,得60+169k+60=0.
解得 k=-或k=-.
∴ y=-x或y=-x.
說明:由於題目已經給定含有待定係數的結構式y=kx,其中k為待定係數,故解此例的關鍵是構造關於k的方程。此例給出的兩個解法代表兩種不同的思路:
解法1是把已知條件先轉化為求函式圖象上一點的座標,構造方程解出,再求k;解法2是引進輔助未知數a,利用勾股定理、三角形面積公式直接構造關於a、k的方程組,解題時消去a,求出k值。
例7.在直角座標系x0y中,一次函式y=x+的圖象與x軸,y軸,分別交於a、b兩點,點c座標為(1,0),點d在x軸上,且∠bcd=∠abd,求圖象經過b、d兩點的一次函式的解析式。
分析:由已知可得a點座標(-3,0),b點座標(0,),點c是確定的點(1,0),解題的關鍵是確定點d的座標,由點d在x軸上,以∠bcd=∠abd的條件,結合畫草圖可知∠bcd的邊bc確定,頂點c確定,但邊cd可以有兩個方向,即點d可以在c點右側,也可以在c點左側,因此解此題要分類討論。
解:∵點a、b分別是直線y=x+與x軸和y軸交點,
∴a(-3,0),b(0,),
∵點c座標(1,0)由勾股定理得bc=,ab=,
設點d的座標為(x, 0),
(1)當點d在c點右側,即x>1時,
∵∠bcd=∠abd,
∠bdc=∠adb,
∴△bcd∽△abd,
∴=∴=∴8-22x+5=0
∴x1=, x2=,
經檢驗:x1=, x2=,都是方程①的根。
∵x=,不合題意,∴捨去。∴x=,
∴d點座標為(, 0)。
設圖象過b、d兩點的一次函式解析式為y=kx+b,
∴∴所求一次函式為y=-x+
(2)若點d在點c左側則x<1,
可證△abc∽△adb,
∴∴8-18x-5=0
∴x1=-, x2=,
經檢驗x1=-, x2=,都是方程②的根。
∵x2=不合題意捨去,∴x1=-,
∴d點座標為(-, 0),
∴圖象過b、d(-, 0)兩點的一次函式解析式為y=4x+
綜上所述,滿足題意的一次函式為y=-x+或y=4x+.
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