一次函式的圖象和性質
一、知識要點：
1、一次函式：形如y=kx+b (k≠0, k, b為常數)的函式。
注意：（1）k≠0,否則自變數x的最高次項的係數不為1；
（2）當b=0時，y=kx，y叫x的正比例函式。
2、圖象：一次函式的圖象是一條直線，
（1）兩個常有的特殊點：與y軸交於（0，b）；與x軸交於（-，0）
（2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。
3、性質：
(1)圖象的位置:
(2)增減性
k>0時，y隨x增大而增大
k<0時，y隨x增大而減小
4．求一次函式解析式的方法
求函式解析式的方法主要有三種
(1)由已知函式推導或推證
(2)由實際問題列出二元方程，再轉化為函式解析式，此類題一般在沒有寫出函式解析式前無法（或不易）判斷兩個變數之間具有什麼樣的函式關係。
(3)用待定係數法求函式解析式。
「待定係數法」的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的係數，轉化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的係數，一般就需列出幾個含有待定係數的方程，本單元構造方程一般有下列幾種情況：
①利用一次函式的定義
構造方程組。
②利用一次函式y=kx+b中常數項b恰為函式圖象與y軸交點的縱座標，即由b來定點；直線y=kx+b平行於y=kx，即由k來定方向 。
③利用函式圖象上的點的橫、縱座標滿足此函式解析式構造方程。
④利用題目已知條件直接構造方程 。
二、例題舉例：
例1．已知y=，其中=(k≠0的常數)，與成正比例，求證y與x也成正比例證明：∵與成正比例，
設=a(a≠0的常數),
∵y=, =(k≠0的常數),
∴y=·a=akx，
其中ak≠0的常數，
∴y與x也成正比例。
例2．已知一次函式=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸交點的縱座標為-1，判斷=(3-)是什麼函式，寫出兩個函式的解析式，並指出兩個函式在直角座標系中的位置及增減性。
解：依題意，得
解得 n=-1，
∴=-3x-1,
=(3-)x, 是正比例函式；
=-3x-1的圖象經過第
二、三、四象限，隨x的增大而減小；
=(3-)x的圖象經過第
一、三象限，隨x的增大而增大。
說明：由於一次函式的解析式含有待定係數n，故求解析式的關鍵是構造關於n的方程，此題利用「一次函式解析式的常數項就是圖象與y軸交點縱座標」來構造方程。
例3．直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點在y軸上，求此直線解析式。
分析：直線y=kx+b的位置由係數k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點，若兩直線平行，則解析式的一次項係數k相等。例 y=2x,y=2x+3的圖象平行。
解：∵y=kx+b與y=5-4x平行，
∴k=-4,
∵y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交於y軸，
∴b=18，
∴y=-4x+18。
說明：一次函式y=kx+b圖象的位置由係數k、b來決定：由k來定方向，由b來定點，即函式圖象平行於直線y=kx，經過(0, b)點，反之亦成立，即由函式圖象方向定k，由與y軸交點定b。
例4．直線與x軸交於點a（-4，0），與y軸交於點b，若點b到x軸的距離為2，求直線的解析式。
解：∵點b到x軸的距離為2，
∴點b的座標為（0，±2），
設直線的解析式為y=kx±2,
∵直線過點a（-4，0），
∴0=-4k±2,
解得：k=±,
∴直線ab的解析式為y=x+2或y=-x-2.
說明：此例看起來很簡單，但實際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函式解析式必備的。
（1）圖象是直線的函式是一次函式；
（2）直線與y軸交於b點，則點b（0，）；
（3）點b到x軸距離為2，則||=2；
（4）點b的縱座標等於直線解析式的常數項，即b=；
（5）已知直線與y軸交點的縱座標，可設y=kx+，
下面只需待定k即可。
例5．已知一次函式的圖象，交x軸於a（-6，0），交正比例函式的圖象於點b，且點b在第三象限，它的橫座標為-2，△aob的面積為6平方單位，求正比例函式和一次函式的解析式。
分析：自畫草圖如下：
解：設正比例函式y=kx，
一次函式y=ax+b，
∵點b在第三象限，橫座標為-2，
設b（-2，），其中<0，
∵=6，
∴ao·||=6，
∴=-2，
把點b（-2，-2）代入正比例函式y=kx，得k=1
把點a（-6，0）、b（-2，-2）代入y=ax+b，
得解得：
∴y=x, y=-x-3即所求。
說明：（1）此例需要利用正比例函式、一次函式定義寫出含待定係數的結構式，注意兩個函式中的係數要用不同字母表示；
（2）此例需要把條件（面積）轉化為點b的座標。這個轉化實質含有兩步：一是利用面積公式ao·bd=6（過點b作bd⊥ao於d）計算出線段長bd=2，再利用||=bd及點b在第三象限計算出=-2。
若去掉第三象限的條件，想一想點b的位置有幾種可能，結果會有什麼變化？（答：有兩種可能，點b可能在第二象限（-2，2），結果增加一組y=-x, y=(x+3).
例6．已知正比例函式y=kx (k<0)圖象上的一點與原點的距離等於13，過這點向x軸作垂線，這點到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等於30，求這個正比例函式的解析式。
分析：畫草圖如下：
則oa=13，=30，
則列方程求出點a的座標即可。
解法1：設圖象上一點a（x, y）滿足
解得：；；；
代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.
∴y=-x或y=-x。
解法2：設圖象上一點a（a, ka）滿足
由（2）得=-,
代入（1），得(1+)·(-)=.
整理，得60+169k+60=0.
解得 k=-或k=-.
∴ y=-x或y=-x.
說明：由於題目已經給定含有待定係數的結構式y=kx，其中k為待定係數，故解此例的關鍵是構造關於k的方程。此例給出的兩個解法代表兩種不同的思路：
解法1是把已知條件先轉化為求函式圖象上一點的座標，構造方程解出，再求k；解法2是引進輔助未知數a，利用勾股定理、三角形面積公式直接構造關於a、k的方程組，解題時消去a，求出k值。
例7．在直角座標系x0y中，一次函式y=x+的圖象與x軸，y軸，分別交於a、b兩點，點c座標為（1，0），點d在x軸上，且∠bcd=∠abd，求圖象經過b、d兩點的一次函式的解析式。
分析：由已知可得a點座標（-3，0），b點座標（0，），點c是確定的點（1，0），解題的關鍵是確定點d的座標，由點d在x軸上，以∠bcd=∠abd的條件，結合畫草圖可知∠bcd的邊bc確定，頂點c確定，但邊cd可以有兩個方向，即點d可以在c點右側，也可以在c點左側，因此解此題要分類討論。
解：∵點a、b分別是直線y=x+與x軸和y軸交點，
∴a（-3，0），b（0，），
∵點c座標（1，0）由勾股定理得bc=，ab=，
設點d的座標為（x, 0），
（1）當點d在c點右側，即x>1時，
∵∠bcd=∠abd，
∠bdc=∠adb，
∴△bcd∽△abd，
∴=∴=∴8-22x+5=0
∴x1=, x2=,
經檢驗：x1=, x2=,都是方程①的根。
∵x=,不合題意，∴捨去。∴x=，
∴d點座標為（, 0）。
設圖象過b、d兩點的一次函式解析式為y=kx+b，
∴∴所求一次函式為y=-x+
（2）若點d在點c左側則x<1，
可證△abc∽△adb，
∴∴8-18x-5=0
∴x1=-, x2=,
經檢驗x1=-, x2=,都是方程②的根。
∵x2=不合題意捨去，∴x1=-,
∴d點座標為（-, 0），
∴圖象過b、d（-, 0）兩點的一次函式解析式為y=4x+
綜上所述，滿足題意的一次函式為y=-x+或y=4x+.
例8．已知：如圖一次函式y=x-3的圖象與x軸、y軸分別交於a、b兩點，過點c（4，0）作ab的垂線交ab於點e，交y軸於點d，求點d、e的座標。
解：直線y=x-3與x軸交於點a（6，0），與y軸交於點b（0，-3），
∴oa=6，ob=3，
∵oa⊥ob，cd⊥ab，
∴∠odc=∠oab，
∴cot∠odc=cot∠oab,即
∴od===8.
∴點d的座標為（0，8），
設過cd的直線解析式為y=kx+8,將c( 4,0)代入
0=4k+8, 解得 k=-2
∴直線cd：y=-2x+8,
由解得∴點e的座標為（，-）
說明：由於點e既在直線ab上，又在直線cd上，所以可以把兩直線的解析式聯立，構成二元一次方程組，通過解方程組求得。
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