平面向量
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1．(文)(2011·北京西城區期末)已知點a(－1,1)，點b(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，則實數y的值為( )
a．5 b．6
c．7 d．8
[答案] c
[解析] ＝(3，y－1)，∵∥a，∴＝，∴y＝7.
(理)(2011·福州期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實數x的值為( )
a．－2 b．0
c．1 d．2
[答案] d
[解析] a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
∵a＋b與4b－2a平行，∴＝，∴x＝2，故選d.
2．(2011·蚌埠二中質檢)已知點a(－1,0)，b(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，則實數k的值為( )
a．－2 b．－1
c．1 d．2
[答案] b
[解析] ＝(2,3)，∵⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴選b.
3．(2011·北京豐台期末)如果向量a＝(k,1)與b＝(6，k＋1)共線且方向相反，那麼k的值為( )
a．－3 b．2
c．－ d.
[答案] a
[解析] 由條件知，存在實數λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴，∴k＝－3，故選a.
4．(文)(2011·北京朝陽區期末)在△abc中，m是bc的中點，am＝1，點p在am上且滿足＝2，則·(＋)等於( )
a．－ b．－
c. d.
[答案] a
[解析] 由條件知，·(＋)＝·(2)
＝·＝－||2＝－2＝－.
(理)(2011·黃岡期末)在平行四邊形abcd中，e、f分別是bc、cd的中點，de交af於h，記、分別為a、b，則＝( )
a. a－b b. a＋b
c．－a＋b d．－a－b
[答案] b
[解析] ＝b＋a，＝a－b，設＝λ，則＝λa－λb，∴＝＋＝λa＋b，
∵與共線且a、b不共線a＋b.
5．(2011·山東濰坊一中期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，則n＝( )
a．－3 b．－1
c．1 d．3
[答案] d
[解析] ∵a＋b＝(3,1＋n)，
∴|a＋b|＝＝，
又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，
∴＝n＋2，解之得n＝3，故選d.
6．(2011·煙台調研)已知p是邊長為2的正△abc邊bc上的動點，則·(＋)( )
a．最大值為8 b．是定值6
c．最小值為2 d．與p的位置有關
[答案] b
[解析] 設bc邊中點為d，則
·(＋)＝·(2)
＝2||·||·cos∠pad＝2||2＝6.
7．(2011·河北冀州期末)設a，b都是非零向量，那麼命題「a與b共線」是命題「|a＋b|＝|a|＋|b|」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．非充分非必要條件
[答案] b
[解析] |a＋b|＝|a|＋|b|a與b方向相同，或a、b至少有乙個為0；而a與b共線包括a與b方向相反的情形，
∵a、b都是非零向量，故選b.
8．(2011·甘肅天水一中期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，則a與c的夾角為( )
a．30° b．60°
c．120° d．150°
[答案] c
[解析] 由條件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ為a＋b與c的夾角，∴θ＝60°.
∵a＋b＝－a，∴a＋b與a方向相反，∴a與c的夾角為120°.
9．(文)(2011·福建廈門期末)在△abc中，∠c＝90°，且ac＝bc＝3，點m滿足＝2，則·等於( )
a．2 b．3
c．4 d．6
[答案] b
[解析] 解法1：如圖以c為原點，ca、cb為x軸、y軸建立平面直角座標系，則a(3,0)，b(0,3)，設m(x0，y0)，
∵＝2，∴，∴，
∴·＝(2,1)·(0,3)＝3，故選b.
解法2：∵＝2，∴＝，
2＋·＝9＋×3×3×＝3.
(理)(2011·安徽百校聯考)設o為座標原點，點a(1,1)，若點b(x，y)滿足則·取得最大值時，點b的個數是( )
a．1 b．2
c．3 d．無數
[答案] a
[解析] x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2＋(y－1)2≥1，畫出不等式組表示的平面區域如圖，·＝x＋y，設x＋y＝t，則當直線y＝－x平移到經過點c時，t取最大值，故這樣的點b有1個，即c點．
10．(2011·寧夏銀川一中檢測)a，b是不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈r)，則a、b、c三點共線的充要條件為( )
a．λ1＝λ2＝－1 b．λ1＝λ2＝1
c．λ1·λ2＋1＝0 d．λ1λ2－1＝0
[答案] d
[分析] 由於向量，有公共起點，因此三點a、b、c共線只要，共線即可，根據向量共線的條件可知存在實數λ使得＝λ，然後根據平面向量基本定理得到兩個方程，消去λ即得結論．
[解析] ∵a、b、c共線，∴，共線，根據向量共線的條件知存在實數λ使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由於a，b不共線，
根據平面向量基本定理得，消去λ得λ1λ2＝1.
11．(文)(2011·北京學普教育中心)設向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量運算a⊕b＝(a1，a2)⊕(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，點p(x，y)在y＝sinx的圖象上運動，點q在y＝f(x)的圖象上運動，且滿足＝m⊕＋n(其中o為座標原點)，則y＝f(x)的最大值及最小正週期分別為( )
a．2；π b．2；4π
c.；4π d.；π
[答案] c
[解析] 設點q(x′，y′)，則＝(x′，y′)，由新定義的運算法則可得：
(x′，y′)＝⊕(x，y)＋
＝，得，∴，
代入y＝sinx，得y′＝sin，則
f(x)＝sin，故選c.
(理)(2011·華安、連城、永安、漳平一中、龍海二中、泉港一中六校聯考)如圖，在矩形oacb中，e和f分別是邊ac和bc的點，滿足ac＝3ae，bc＝3bf，若＝λ＋μ其中λ，μ∈r，則λ＋μ是( )
a. b.
c. d．1
[答案] b
[解析] ＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
相加得＋＝(＋)＝，
12．(2011·遼寧瀋陽二中階段檢測)已知非零向量與滿足·＝0，且·＝－，則△abc的形狀為( )
a．等腰非等邊三角形 b．等邊三角形
c．三邊均不相等的三角形 d．直角三角形
[答案] a
[分析] 根據平面向量的概念與運算知，表示方向上的單位向量，因此向量＋平行於角a的內角平分線．由·＝0可知，角a的內角平分線垂直於對邊，再根據數量積的定義及·＝－可求角a.
[解析] 根據·＝0知，角a的內角平分線與bc邊垂直，說明三角形是等腰三角形，根據數量積的定義及·＝－可知a＝120°.故三角形是等腰非等邊的三角形．
[點評] 解答本題的關鍵是注意到向量，分別是向量，方向上的單位向量，兩個單位向量的和一定與角a的內角平分線共線．
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(文)(2011·湖南長沙一中月考)設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等於________．
[答案]
[解析] 3a＋b＝(3,6)＋(－2，y)＝(1,6＋y)，
∵a∥b，∴＝，∴y＝－4，∴3a＋b＝(1,2)，
∴|3a＋b|＝.
(理)(2011·北京朝陽區期末)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b
[答案] 2
[解析] a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，
|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，
∴|a＋2b|＝2.
14．(2011·華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯考)已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉為鈍角，則λ的取值範圍是________．
[答案] λ<－且λ≠－3
[解析] ∵〈a，b〉為鈍角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，
∴λ<－，當a與b方向相反時，λ＝－3，
∴λ<－且λ≠－3.
15．(2011·黃岡市期末)已知二次函式y＝f(x)的影象為開口向下的拋物線，且對任意x∈r都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(，－1)，b＝(，－2)，則滿足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值範圍為________．
[答案] 0≤m<1
[解析] 由條件知f(x)的圖象關於直線x＝1對稱，
∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，
∵f(x)在[1，＋∞)上為減函式，∴m＋2<3，∴m<1，
∵m≥0，∴0≤m<1.
16．(2011·河北冀州期末)已知向量a＝，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)滿足a⊥b且(a＋b)∥c，則實數m
[答案] ±
[解析] ∵a⊥b，∴sinθcosθ＋＝0，∴sin2θ＝－，
又∵a＋b＝，(a＋b)∥c，
∴m(sinθ＋cosθ)－＝0，
∴m＝，∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sinθ＋cosθ＝±，∴m＝±.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)(2011·甘肅天水期末)已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx， cosx)，函式f(x)＝a·b，x∈[0，π]．
(1)求函式f(x)的最大值；
(2)當函式f(x)取得最大值時，求向量a與b夾角的大小．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝－cos2x＋sinxcosx
＝sin2x－cos2x－＝sin－.
平面向量測試題
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平面向量測試題 8 3
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