第1講指數與指數函式
★知識梳理
分數指數冪
根式如果，那麼稱為的次實數方根；
式子叫做根式，其中叫做根指數，叫做被開方數
方根的性質：當n為奇數時，=a.當n為偶數時，=|a|=
2．分數指數冪
（1）分數指數冪的意義:a=，a==（a＞0，m、n都是正整數，n＞1）.
（2）有理數指數冪的性質：
二、指數函式的影象及性質的應用
①指數函式的定義：一般地，函式y=ax（a＞0且a≠1）叫做指數函式.
②指數函式的影象
③底數互為倒數的兩個指數函式的影象關於y軸對稱.
④指數函式的性質：定義域：r； 值域：（0，＋∞）；過點（0，1）；即x=0時，y=1.
當a＞1時，在r上是增函式；當0＜a＜1時，在r上是減函式.
畫指數函式y=ax（a＞0且a≠1）的影象時，應該抓住兩點：一是過定點（0，1），二是x軸
是其漸近線
★重、難點突破
重點：有理指數冪的定義及性質，指數函式的概念、影象與性質
難點：綜合運用指數函式的影象與性質解決問題
重難點：1.指數型函式單調性的判斷，方法主要有兩種：
（1）利用單調性的定義（可以作差，也可以作商）
（2）利用復合函式的單調性判斷形如的函式的單調性：若，則的單調增（減）區間，就是的單調增（減）區間；若，則的單調增（減）區間，就是的單調減（增）區間；
2. 指數函式的影象與性質
(ⅰ) 指數函式在同一直角座標系中的圖象的相對位置與底數大小的關係如圖所示,對
應關係為
（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx
則在軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小;在軸左側,圖象從下到上相應的底數由大變小,即無論在軸左側還是右側,底數按逆時針方向變大.
(ⅱ) 指數函式的影象與的圖象關於軸對稱
3.指數型的方程和不等式的解法
(ⅰ)形如的形式常用「化同底」轉化為利用指數函式的單調性解決，或「取對數」等方法；
(ⅱ)形如或的形式，可借助於換元法轉化為二次方程或不等式求解。
★熱點考點題型探析
考點1 指數冪的運算
[例1] （湛江市2011屆統考）計算：
[解題思路] 根式的形式通常寫成分數指數冪後進行運算。
[解析]原式
[名師指引]根式的運算是基本運算，在未來的高考中一般不會單獨命題，而是與其它知識結合在一起，比如與二項展開式結合就比較常見
[新題導練]
1.（高州中學2011屆月考）經化簡後，的結果是
[解析] ；
2[解析] ;
考點2 指數函式的圖象及性質的應用
題型1：由指數函式的圖象判斷底數的大小
[例2] 下圖是指數函式（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的影象，則a、b、c、d與1的大小關係是（ ）
a．; b．；
c．；d．
[解題思路] 顯然,作為直線x=1即可發現a、b、c、d與1的大小關係
[解析] b;令x=1，由圖知,即
[名師指引] 由指數函式的圖象確定底數的大小關係,關鍵要從具體圖象進行分析
題型2：解簡單的指數方程
[例3] 方程的解是_________
[解題思路]將方程化為最簡單的指數方程
[解析]；在方程的兩邊同時乘以得，從而得
所以[名師指引]解指數方程要觀察其特徵，在本題中，關鍵是發現與的關係：
題型3：利用函式的單調性求函式的值域
[例4] 已知2≤（）x－2，求函式y=2x－2－x的值域.
[解題思路]求函式y=2x－2－x的值域應利用考慮其單調性
[解析] ∵2≤2－2（x－2），∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.
又∵y=2x－2－x是［－4，1］上的增函式，∴2－4－24≤y≤2－2－1.
故所求函式y的值域是［－，］.
[名師指引]利用函式的單調性確定其值域是高考熱點，關鍵在於發現函式的單調性
[新題導練]
3．不等式的解集是
[解析] ；由不等式得，解得
4．（金山中學2011屆月考）若直線與函式的圖象有兩個公共點，則a的取值範圍是_______.
[解析] ；畫出函式的草圖知，若直線與函式的圖象有兩個公共點，則，即
5．（廣東恩城中學2023年模擬）不論為何正實數,函式的圖象一定通過一定點,則該定點的座標是_________
[解析]；因為函式的圖象通過定點，故函式的圖象一定通過定點
6．（廣東廣雅中學2011屆月考）已知函式（其中）的圖象如下面右圖所示，則函式的圖象是( )
abcd．
[解析] a；由的圖象知，所以函式的圖象是a
7．（08年安徽改編）若函式分別是上的奇函式、偶函式，且滿足，則、、的大小關係為
[解析]；因為是奇函式，是偶函式，所以有
，得，可見在上是增函式，故，又由知，因此
所以考點3 與指數函式有關的含引數問題
[例5] 要使函式y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恆成立，求a的取值範圍.
[解題思路]欲求的取值範圍,應該由1+2x+4x＞0將引數分離,轉變為求函式的最值
[解析] 由題意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恆成立，即a＞－在
x∈（－∞，1］上恆成立.又∵－=－（）2x－（）x=－［（）x+］2+，
當x∈（－∞，1］時值域為（－∞，－］，∴a＞－
[名師指引]①由某個不等式在某個範圍內恆成立，求引數的取值範圍是高考中的熱點,處理的方法往往是通過分離引數, 轉變為求函式的最值,但要注意端點的值能否取到；
②指數函式的綜合問題常常涉及指數函式的定義域、值域、過定點、單調性、奇偶性、影象特徵,要用到數形結合思想、分類討論思想.
③指數函式是重要的基本初等函式, 高考中既考查雙基, 又考查對蘊含其中的函式思想、等價轉化、分類討論等思想方法的理解與運用. 因此應做到能熟練掌握它們的影象與性質並能進行一定的綜合運用。
[新題導練]
8．(2008上海) 已知函式,若對於恆成立，求實數的取值範圍
[解析] ;當
即故m的取值範圍是
9．設,如果當時有意
義,求a的取值範圍.
[解析] ；當時，恆成立，即恆成立
∴令，則時，，∴
，∴[備選例題] （廣州六校2011屆聯考）已知函式, 將的圖象向右平移兩個單位, 得到的圖象.
(1) 求函式的解析式;
(2) 若函式與函式的圖象關於直線對稱, 求函式的解析式;
[解析] (1) 由題設得
(2) 設點在的圖象上, 點在的圖象上, 且與點關於直線對稱, 則
即. ★搶分頻道
基礎鞏固訓練：
1．（高州中學2011屆月考）與函式的影象關於直線對稱的曲線c對應的函式為，則的值為 （ ）
a．；b．；c．；d．
[解析] d；依題意得，所以
2．（廣東南海2011屆月考）已知函式， 且，則下列結論中，必成立的是（ ）
a．;b．; c．; d．
[解析] d；由函式的圖象及和知
，所以，，從而
3．（2023年執信）函式的圖象的大致形狀是
[解析] ；當時，，又，可排除、；當時，，又，可排除
4. （四會中學2011屆月考）不等式的解集為
[解析] ； 不等式即為，由函式的單調性得，解得
5．（四會中學2011屆月考）滿足條件m＞（mm）2的正數m的取值範圍是_________
[解析] 或；由得，
當時，得，解得；當時，得，解得
6.若關於x的方程25－|x+1|－4·5－|x+1|－m=0有實根，求m的取值範圍.
[解析]解法一：設y=5－|x+1|，則0＜y≤1，問題轉化為方程y2－4y－m=0在（0，1］有實根.設f（y）=y2－4y－m，其對稱軸y=2，∴f（0）＞0且f（1）≤0，得－3≤m＜0.
解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y－2）2－4∈［－3，0）
綜合提高訓練：
7．已知函式，滿足且，當時，試比較與的大小。
[解析] ，∴關於對稱，∴，又 ，
∴當時，，∴＜；
當時，，∴＞
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