動量定理
一、知識網路
1.動量
（1）定義：運動物體的質量和速度的乘積叫做動量，p=mv
動量的單位：kg·m/s.
（2）物體的動量表徵物體的運動狀態，其中的速度為瞬時速度，通常以地面為參考係.
（3）動量是向量，其方向與速度v的方向相同.
兩個物體的動量相同含義：大小相等，方向相同.
（4）注意動量與動能的區別和聯絡：
動量、動能和速度都是描述物體運動的狀態量；
動量是向量，動能是標量；
動量和動能的關係是：p2＝2mek.
2.動量的變化量
（1）δp=pt－p0.
（2）動量的變化量是向量，其方向與速度變化δv的方向相同，與合外力衝量的方向相同，跟動量的方向無關.
（3）求動量變化量的方法：
①定義法 δp=pt－p0=mv2－mv1；
②動量定理法 δp=ft.
3.衝量
（1）定義：力和力的作用時間的乘積，叫做該力的衝量
i=ft，衝量的單位：n·s.
（2）衝量是過程量，它表示力在一段時間內的累積作用效果.
（3）衝量是向量，其方向由力的方向決定.如果在作用時間內力的方向不變，衝量的方向就與力的方向相同.
（4）求衝量的方法：
①定義法 i=ft（適用於求恒力的衝量）；
②動量定理法 i=δp.
4、動量定理
（1）物體所受合外力的衝量，等於這個物體動量的增加量，這就是動量定理.
表示式為：ft＝ 或 ft＝
（2）動量定理的研究物件是單個物體或可視為單個物體的系統.
當研究物件為物體系時，物體系總動量的增量等於相應時間內物體系所受的合外力的衝量.
所謂物體系總動量的增量是指系統內各物體的動量變化量的向量和.
所謂物體系所受的合外力的衝量是指系統內各物體所受的一切外力的衝量的向量和，而不包括系統內部物體之間的相互作用力（內力）的衝量；這是因為內力總是成對出現的，而且它們的大小相等、方向相反，其向量和總等於零.
（3）動量定理公式中的f是研究物件所受的包括重力在內的所有外力的合力.它可以是恒力，也可以是變力.
當合外力為變力時，f應該是合外力對作用時間的平均值.
說明：①在打擊和碰撞問題中，物體之間的相互作用力的很大，大小變化很快，作用時間短，這種作用力通常叫衝力，衝力的本質是彈力.
②當衝力比其他力大得多時，可以忽略其他力，把衝力作為公式中的f，但是我們必須清楚這只是一種近似的處理方法.
③從物理意義上講，公式中的f應該是合力，而不是衝力.
（4）動量定理公式中的fδt是合外力的衝量，也可以是外力衝量的向量和，是使研究物件動量發生變化的原因.
在所研究的物理過程中：
如果各個外力的作用時間相同，求合外力的衝量時，可以先按向量合成法則求所有外力的合力，然後再乘以力的作用時間；也可以先求每個外力在作用時間內的衝量，然後再按向量合成法則求所有外力衝量的向量和；
如果作用在研究物件上的各個力的作用時間不相同，就只能求每個力在相應時間內的衝量，然後再求所有外力衝量的向量和.
（5）動量定理中mv2－mv1是研究物件的動量增量，是過程末態動量與初態動量的差值（向量減法）. 式中「－」號是運算符號，與正方向的選取無關.
（6）動量定理中的等號（=），表明合外力的衝量與研究物件的動量增量的數值相等，方向一致，單位相同，但絕不能認為合外力的衝量就是動量的增量.
合外力的衝量是引起研究物件的運動狀態改變的外來因素，而動量的增量則是研究物件受外力衝量後所導致的必然結果.
（7）fδt=δmv是向量式，在應用動量定理時，應該遵循向量運算的平行四邊形法則.也可以採用正交分解法，把向量運算轉化為標量運算.
假設用fx（或fy）表示合外力在x（或y）軸上的分量，vx0（或vy0）和vx（或vy）表示物體的初速度和末速度在x（或y）軸上的分量，則
fxδt=mvx－mvx0
fyδt=mvy－m vy0
上述兩式表明，合外力的衝量在某一座標軸上的分量等於物體動量的增量在同一座標軸上的分量.
方向處理方法：
在寫動量定理的分量方程式時，對於已知量，凡是與座標軸正方向同向者取正值，凡是與座標軸正方向反向者取負值；對未知量，一般先假設為正方向，若計算結果為正，說明實際方向與座標軸正方向一致，若計算結果為負，說明實際方向與座標軸正方向相反.
（8）牛頓定律跟動量定理的關係
根據f＝ma得
f＝ma＝m=
即f＝.
這是牛頓第二定律的另一種表達形式：
合外力f等於物體動量的變化率.
5、疑難突破
1.δp＝p′－p指的是動量的變化量，不要理解為是動量。
δp的方向可以跟初動量的方向相同（同一直線，動量增大）；
可以跟初動量的方向相反（同一直線，動量減小）；
也可以跟初動量的方向成某一角度。
但動量變化量（p′－p）的方向一定跟合外力的衝量的方向相同.
2.（1）應用動量定理i=δp求變力的衝量的方法：
如果物體受到變力的作用，則不能直接用ft求變力的衝量，而應求出該力作用下物體動量的變化δp，等效代換變力的衝量i=δp.
（2）應用δp=f·δt求恒力作用下的曲線運動中物體動量的變化：
在曲線運動中，速度方向時刻在變化，求動量的變化（δp=p2－p1）需要應用向量運算方法，比較麻煩。如果作用力是恒力，可以求出恒力的衝量等效代換動量的變化.
如平拋運動中動量的變化問題.
思考：以初速度v0平丟擲乙個質量為m的物體，求丟擲後t秒內物體的動量變化。
答案：δp=ft=mgt，方向豎直向下
3.用動量定理解題的基本思路
（1）明確研究物件和研究過程.
研究物件可以是乙個物體，也可以是幾個物體組成的系統.
系統內各物體可以是保持相對靜止的，也可以是相對運動的.
研究過程既可以是全過程，也可以是全過程中的某一階段.
（2）進行受力分析.
只分析研究物件以外的物體施給研究物件的力.
所有外力之和為合外力.
研究物件內部的相互作用力（內力）會改變系統內某一物體的動量，但不影響系統的總動量，因此不必分析內力.
如果在所選定的研究過程中的不同階段中物體的受力情況不同，就要分別計算它們的衝量，然後求它們的向量和.
（3）規定正方向.
由於力、衝量、速度、動量都是向量，在一維的情況下，列式前要先規定乙個正方向，和這個方向一致的向量為正，反之為負.
（4）寫出研究物件的初、末動量和合外力的衝量（或各外力在各個階段的衝量的向量和）.
（5）根據動量定理列式求解.
典型問題1掌握求恒力和變力衝量的方法。
恒力f的衝量求法：直接根據i=ft求
變力的衝量求法：由動量定理或f-t圖線與橫軸所夾的面積來求。
例1.1質量為m的小球由高為h傾角為θ光滑斜面頂端，無初速滑到底端過程中，重力、彈力、合力的衝量各是多大？
解：力的作用時間都是
力的大小依次是mg、mgcosθ和所以它們的衝量依次是：
特別要注意：該過程中彈力雖然不做功，但對物體有衝量。
例1.2乙個物體同時受到兩個力f1、f2的作用，f1、f2與時間t的關係如圖1所示，如果該物體從靜止開始運動，經過t=10s，f1、f2以及合力f的衝量各是多少？
解：經過t=10s後,f1的衝量i1=10×10/2=
f2的衝量i2=－
合力f的衝量為0.
例1.3一質量為100g的小球從0.80m高處自由下落到一厚軟墊上．若從小球接觸軟墊到小球陷至最低點經歷了0.2s，則軟墊對小球的衝量為取 g=10m/s2，不計空氣阻力)．
解:小球從高處自由下落到軟墊陷至最低點經歷了兩個過程，從高處自由下落到接觸軟墊前一瞬間，是自由下落過程，接觸軟墊前一瞬間速度由：
求得.接觸軟墊時受到軟墊向上作用力n和重力g(=mg)作用，規定向下為正，由動量定理：
(mg-n)t=0-m
故：在重物與地面撞擊問題中，是否考慮重力，取決於相互作用力與重力大小的比較，此題中n=0.3n，mg=0.1n，顯然在同一數量級上，不可忽略．
若二者不在同一數量級，相差極大，則可考慮忽略不計（實際上從同一高度下落，往往要看撞擊時間是否極短，越短衝擊力越大）．
f－t圖上的「面積」表示衝量：
衝力和平均力的衝量相等的理解。如圖：
例1.4、如果物體所受空氣阻力與速度成正比,。當以速度v1豎直上拋後,又以速度v2返回出發點。這個過程共用了多少時間?
解：如圖所示，作出上公升階段和下降階段的v-t圖線，圖中藍色線所示。上公升和下降階段加速度都是減少的。
圖線下方的「面積」表示位移的大小，即s1=s2=h。
由於阻力與速度大小成正比，在圖中作出f-t圖線（圖中紅色線所示），則圖線下方的面積一定相等，而此「面積」表示上公升階段和下降階段阻力的衝量大小，故有if 1=-if 2。
取向下為正方向，對全過程由動量定理可得: mgt=m（v1+v2），解得t=（v1+v2）/g
點評：該題是利用物理圖象解題的範例，運用物理圖象解題形象直觀，使解題過程大大簡化。
例1.5跳傘運動員從2000m高處跳下，開始下落過程未開啟降落傘，假設初速度為零，所受空氣阻力與下落速度大小成正比，最大降落速度為vm=50m/s。運動員降落到離地面s=200m高處才開啟降落傘，在1s內速度均勻減小到v1=5.
0m/s，然後勻速下落到地面，試求運動員在空中運動的時間。
解：整個過程中，先是變加速運動，接著勻減速，最後勻速運動，作出v—t圖線如圖（1）所示。
由於第一段內作非勻變速直線運動，用常規方法很難求得這1800m位移內的運動時間。考慮動量定理，將第一段的v—t圖按比例轉化成f—t圖，如圖（2）所示，則可以巧妙地求得這段時間。
設變加速下落時間為t1，利用動量定理得：
s1=1800m
又勻速運動時 mg=kvm，得
代入第一式得：
∴第二段1s內：
所以第三段時間:
空中的總時間：
問題2掌握求動量及動量變化的方法
求動量的變化要用平行四邊形定則或動量定理。
例2.1 乙個質量為m=40g的桌球自高處落下，以速度=1m/s碰地，豎直向上彈回，碰撞時間極短，離地的速率為=0.5m/s。求在碰撞過程中，桌球動量變化為多少？
解：取豎直向下為正方向，桌球的初動量為：
桌球的末動量為：
桌球動量的變化為：=
動量和動量定理
一 動量 1 概念 在物理學中，物體的和的乘積叫做動量。2 定義式 3 單位 4 對動量的理解 1 向量性 動量的方向與方向一致。2 瞬時性 動量的定義式中的v指物體的瞬時速度，從而說明動量與或對應，是狀態量或過程量 3 相對性 速度具有相對性，參考係不同，就不同。二 動量的變化量 1.定義 物體的...
動量定理及答案
1 因為動量定理中的衝量為研究物件所受外力的總衝量，所以必須準確地選擇研究物件，並進行全面的受力分析，畫出受力圖，如果在過程中外力有增減，還需進行多次受力分析。2 因為動量定理是向量式，而多數情況下物體的運動是一維的，所以在應用動量定理前必須建立乙個一維座標，確定正方向，並在受力圖中標出。在應用動量...
動量定理的拓展應用
1 動量定理f t mvt mv0可以用一種更簡潔的方式f t p表達，式中左邊表示物體受到的衝量，右邊表示動量的增量 變化量 此式稍加變形就得 其含義是 物體所受外力 若物體同時受幾個力作用，則為合外力 等於物體動量的變化率。這一公式通常稱為 牛頓第二定律的動量形式 這一形式更接近於牛頓自己對牛頓...