有理數的運算是初中數學中的基礎運算,熟練地掌握有關的運算技巧和策略,按照一定的運算規律,巧妙地運用有關數學方法,是提高運算速度和準確性的必要保證.下面介紹一些運算技巧與策略.
一、巧妙運用運算律
進行有理數的加減運算時,運用交換律、結合律歸類加減,常常可以使運算簡捷.如同號的數相結合、互為相反數的數結合、整數與整數結合、分數與分數結合、同分母與同分母結合等.
例1 求和解:原式=
評析:靈活運用有理數加法運算律是解題關鍵·在應用加法交換律、結合律時一定要注意每個數的性質符號（正、負）不能改變,根據問題特點,靈活選擇合適的解法是解題關鍵.此題由加法交換律和結合律將分母相同的數結合相加,從中找出解題規律.
二、變換順序
在有理數的運算中,適當改變運算順序,有時可以減少運算量,在具體運算過程中,技巧是恰到好處地運用交換律、結合律和分配律等運算律簡化運算.
例2 計算:
解:原式
評析:在運算前,首先觀察、分析參與運算的數的特徵、排列順序等,適當交換一下各數的位置,達到簡化運算、快速解題的目的.
三、倒序相加
在處理多項式的加減乘除運算時,常根據所求式結構,採用倒序相加減的方法把問題簡化.
例3 計算 .①
解:把①式倒排列後,得
②①+②得
所以：評析:顯然,此類問題是不能「硬算」的,倒序相加可提高運算速度,降低複雜程度.
本題也可以直接用求和公式
四、巧拆項
把一項拆成兩項的和或積,使得算式可以消去某些項,使運算簡捷.
例4 計算:
解:評析: 可知，所以，
形如的分數,可以拆成的形式.對於這些題目結構複雜,長度較大的數,用常規的方法不易解決.解這類問題要根據題目的結構特點,找出拆項規律,靈活巧妙地把問題解決.
五、整體換元
對於較複雜的算式直接運算很困難,若能抓住其特徵,運用整體運算的思維,創造性地加以解決,就能收到事半功倍的效果.
例5 計算:
解:設則原式
評析:整體換元可以避開區域性細節的麻煩,它利用前後項之間的倍數關係,使用的是錯位相加法.
六、湊整求和
在有理數的運算中,為了計算的方便,常把非整數湊成整數,一般湊成整
一、整十、整百、整千等數,這樣便於迅速得到答案.
例6 計算11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999.
解:添上9+8+7+6+5+4+3+2+1,依次與各數配對相加,得:
11+ 192 + 1993 +19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999.
= 20+200+2×103+2×104+…+2×109-(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
= 2222222220-45
= 2222222175.
評析:將相加可得整數的數放在一起進行運算(其中包括互為相反數相加),可以降低解題難度,提高解題效率.
七、變數替換
通過引入新變數轉化命題結構,這樣不但可以減少運算過程,還有利於尋找解題思路,其中的新變數在解題過程中起到橋梁作用.
例7 計算
解:設則原式
評析:此題橫看縱看都顯得比較複雜,但若仔細觀察,整個式子可分為三個部分:,因此,採用變數替換就大大減少了計算量.
八、構造對偶式
在計算一些連乘的有理數式子時,可以根據式子的結構特徵,構造一些與它有內在聯絡的輔助式,然後經過運算,促使問題的轉化與解決.
例8 比較與的大小.
解:設構造對偶式:
則由於0即.
評析:構造對偶式的目的是為了溝通分子與分母的直接聯絡,從而達到簡化解題過程的目的.
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