當前，我們已進入高三一輪複習，函式是高中數學的核心內容，也是學習高等數學的基礎，是數學中最重要的概念之一，它貫穿中學數學的始終。求函式解析式是函式部分的基礎，在高考試題中多以選擇、填空形式出現，屬中低檔題目，同學們務必要拿分。下面就向同學們介紹幾種求函式解析式的常用方法：
[題型一]配湊法
例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
分析：函式的解析式y=f(x)是自變數x確定y值的關係式，其實質是對應法則f：x→y，因此解決這類問題的關鍵是弄清對「x」而言，「y」是怎樣的規律。
解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小結：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端「x+2■」變為接受物件「■+1」的表示式，即變為含(■+1)的表示式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
分析：視1-cosx為一整體，應用數學的整體化思想，換元即得。
解：設t=1-cosx
∵-1cosx1∴01-cosx2即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
即f(x)=-x2+2x(0x2)
小結：①已知f[g(x)]是關於x的函式，即f[g(x)]=f(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，將x=(t)代入f[g(x)]=f(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。
注意：換元後要確定新元t的取值範圍。
②換元法就是通過引入乙個或幾個新的變數來替換原來的某些變數的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如區域性換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應用極為廣泛。
[題型三]待定係數法
例3.設二次函式f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的兩實根平方和為10，圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由於f(x)是二次函式，其解析式的基本結構已定，可用待定係數法處理。
解：設f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知，該函式圖象關於直線x=2對稱
∴-■=2，即b=-4a……①
又圖象過點(0，3)∴c=3……②
由方程f(x)=0的兩實根平方和為10，得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1，b=-4，c=3
∴f(x)=x2-4x+3
小結：我們只要明確所求函式解析式的型別，便可設出其函式解析式，設法求出其係數即可得到結果。類似的已知f(x)為一次函式時，可設f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)為反比例函式時，可設f(x)=■(k≠0)；f(x)為二次函式時，根據條件可設
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②頂點式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③雙根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[題型四]消元法
例4.已知函式y=f(x)滿足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常數，a≠±b，求函式y=f(x)的解析式。
分析：求函式y=f(x)的解析式，由已知條件知必須消去f(■)，不難想到再尋找乙個方程，構成方程組，消去f(■)得f(x)。如何構成呢？
充分利用x和■的倒數關係，用■去替換已知中的x便可得到另乙個方程。
解：在已知等式中，將x換成■，得af(■)+bf(x)=■，把它與原條件式聯立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
(週六繼續刊登)
有同學通過qq詢問下面的數學題，我們請天津四中的孟黎輝老師來回答。
問1.已知：方程：
x2+ax+a+1=0的兩根滿足乙個條件：一根大於k，一根小於k(k是實數)，求a的取值範圍。(此題一種方法是圖象法，還有一種方法，能告訴這兩種方法嗎？
)答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1圖象為開口向上的拋物線，因此只需f(k)＜0即可。
∴k2+ak+a+1＜0，即a(k+1)＜-k2-1
∴當k＞-1時，a＜■；當k＜-1時，a＞■；當k=-1時，a無解。
方法二：(x1-k)(x2-k)＜0△＞0
只需(x1-k)(x2-k)＜0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2＜0
即a+1+ka+k2＜0，以下同方法一。
問2.為什麼求解時只需求(x1-k)(x2-k)＜0，而不需再求根的判別式是否大於0？
答：法二不需要驗判別式，原因可以舉個簡單例子說明，如：若研究x2+ax+b=0兩根滿足：
乙個根大於0，乙個根小於0，只需x1x2＜0，即：b<0，此時就可以保證△=a2-4b＞0恆成立。
求函式解析式的幾種常用方法
數學輔導 求函式解析式的幾種常用方法 當前，我們已進入高三一輪複習，函式是高中數學的核心內容，也是學習高等數學的基礎，是數學中最重要的概念之一，它貫穿中學數學的始終。求函式解析式是函式部分的基礎，在高考試題中多以選擇 填空形式出現，屬中低檔題目，同學們務必要拿分。下面就向同學們介紹幾種求函式解析式的...
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