二次函式是初中數學的乙個重要內容，也是高中數學的乙個重要基礎。熟練地求出二次函式的解析式是解決二次函式問題的重要保證。
二次函式的解析式有三種基本形式：
1、一般式：y=ax+bx+c (a≠0)。
2、頂點式：y=a(x－h) +k (a≠0)，其中點(h,k)為頂點，對稱軸為x=h。
3、交點式：y=a(x－x)(x－x) (a≠0)，其中x,x是拋物線與x軸的交點的橫座標。
求二次函式的解析式一般用待定係數法，但要根據不同條件，設出恰當的解析式：
1、若給出拋物線上任意三點，通常可設一般式。
2、若給出拋物線的頂點座標或對稱軸或最值，通常可設頂點式。
3、若給出拋物線與x軸的交點或對稱軸或與x軸的交點距離，通常可設交點式。
**問題，典例指津：
例1、已知二次函式的圖象經過點和．求這個二次函式的解析式．
分析：由於題目給出的是拋物線上任意三點，可設一般式y=ax+bx+c (a≠0)。
解：設這個二次函式的解析式為y=ax+bx+c (a≠0)
依題意得解這個方程組得：
∴這個二次函式的解析式為y=2x+3x－4。
例2、已知拋物線的頂點座標為，與軸交於點，求這條拋物線的解析式。
分析：此題給出拋物線的頂點座標為，最好拋開題目給出的，重新設頂點式y=a(x－h) +k (a≠0)，其中點(h,k)為頂點。
解：依題意，設這個二次函式的解析式為y=a(x－4)－1 (a≠0)
又拋物線與軸交於點。
∴a(0－4)－1=3 ∴a=
∴這個二次函式的解析式為y= (x－4)－1，即y=x－2x+3。
例3、如圖，已知兩點a（－8，0），（2，0），以ab為直徑的半圓與y軸正半軸交於點c。求經過a、b、c三點的拋物線的解析式。
分析：a、b兩點實際上是拋物線與x軸的交點，所以可設交點式y=a(x－x)(x－x) (a≠0)，其中x,x是拋物線與x軸的交點的橫座標。
解：依題意，設這個二次函式的解析式為y=a(x+8)(x－2)
又鏈結ac、bc，利用射影定理或相交弦定理的推論易得：
oc=ac·bc=8×2 ∴oc=4
即c(0,4)。
∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=
∴這個二次函式的解析式為y= (x+8)(x－2)，即y=x－x+4。
變式練習，創新發現
1、在圖的方格紙上有a、b、c三點（每個小方格的邊長為1個單位長度）．
（l）在給出的直角座標系中分別寫出點a、b、c的座標；
（2）根據你得出的a、b、c三點的座標，求圖象經過這三點的二次函式
的解析式．
2、已知拋物線的頂點座標為，與軸交於點，求這條拋物線的解析式。
3、已知拋物線過a（－2，0）、b（1，0）、c（0，2）三點。求這條拋物線的解析式。）
4. 根據下列條件求二次函式解析式．(1)若函式有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函式有最大值2，且過點a(-1，0)、b(3，0)．(3)若函式當x＞-2時y隨x增大而增大(x＜-2時，y隨x增大而減小)，且圖象過點(2，4)在y軸上截距為-2．
參***：
1、（1）a(2,3);b(4,1);c(8,9)。 （2）y=x－4x+9。
2、y=(x－2) +1，即y=x－4x+5。
3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。
4.分析： (1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可將三個待定係數轉化為求乙個k．即設a=k，b=2k，c=-3k(2)由拋物線的對稱性可得頂點是(1，2)(3)由函式性質知對稱軸是x=-2
解：(1)設y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)
∴設a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8
∴解析式y=2x2+4x-6
(2)∵圖象過點a(-1，0)、b(3，0)，a、b兩點均在x軸上，由對稱性得對稱軸為x=1．又函式有最大值2，∴頂點座標為(1，2)，∴設解析式為y=a(x-1)2＋2．
(3)∵函式當x＞-2時y隨x增大而增大，當x＜-2時y隨x增大而減小
∴對稱軸為x=-2設y=a(x+2)2+n
∵過點(2，4)在y軸上截距為-2，即過點(0，-2)
說明：題(3)也可設成y=ax2＋bx＋c，得：
題(2)充分利用對稱性可簡化計算．
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