不定方程
———研究其解法
方程，這個詞對於同學們來說，再熟悉不過了，它在數學中佔了很大的乙個板塊，許多題目都可以通過方程來得到答案，那麼自然而然，它的解法就尤為重要了。 然而，我今天想為大家介紹的是一種特殊的方程——不定方程，因為它往往有多個或無數個解，他的解法相對較多較難，以下就是關於不定方程的一些問題。
一、不定方程是指未知數的個數多於方程個數的方程，其特點是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法
1、篩選試驗法
根據方程特點，確定滿足方程整數的取值範圍，對此範圍內的整數一一加以試驗，篩去不合理的值。
如：方程x﹢y﹢z = 100共有幾組正整數解？
解：當x = 1時y﹢z = 99，這時共有98個解：(y，z)為(1，98) (2，97)……(98，1)。
當x = 2時y﹢z = 98，這時共有97個解：(y，z)為(1，97) (2，96)……(97，1)。
……當 x = 98時，y﹢z = 2，這時有乙個解。
∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= = 4851
∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851個正整數解。
2、**記數法
如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正整數解。
解：∴ 方程4x﹢7 y =55的正整數解有
x = 5x = 12
y = 5y = 1
3、分離係數法
如： 求7x﹢2 y =38的整數解
解： y ==19-3x-x
令 t=x
x=2 t
則 y==19-7t
2t＞0
19-7t＞0 （t為整）→ 2＞t＞0
t=2，1
當 t=2時x=2×2=4x=4
y=19-7×2=5y =5
當 t=1時x=2×1=2x=2
y=19-7×1=12y=12
第四十周不定方程
專題簡析：
當方程的個數比方程中未知數的個數少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。
如果不加限制的話，它的解有無數個；如果附加一些限制條件，那麼它的解的個數就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小於5的整數，那麼解就只有x＝3，y＝2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。
解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的乙個未知數用另乙個未知數來表示，然後再一定範圍內試驗求解。解題時要注意觀察未知數的特點，盡量縮小未知數的取值範圍，減少試驗的次數。
對於有3個未知數的不定方程組，可用削去法把它轉化為二元一次不定方程再求解。
解答應用題時，要根據題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當的值。
例1． 求3x+4y＝23的自然數解。
先將原方程變形，y＝。可列表試驗求解：
所以方程3x+4y＝23的自然數解為
x=1 x=5
y=5 y=2
練習一1、 求3x+2y＝25的自然數解。
2、 求4x+5y＝37的自然數解。
3、 求5x－3y＝16的最小自然數解。
例2 求下列方程組的正整數解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
這是乙個三元一次不定方程組。解答的實話，要先設法消去其中的乙個未知數，將方程組簡化成例1那樣的不定方程。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
由×2+，得13x+13y＝52
x+y＝4
把式變形，得y＝4－x。
因為x、y、z都是正整數，所以x只能取1、2、3.
當x＝1時，y＝3
當x＝2時，y＝2
當x＝3時，y＝1
把上面的結果再分別代入或，得x＝1，y＝3時，z無正整數解。
x＝2，y＝2時，z也無正整數解。
x＝3時，y＝1時，z＝1.
所以，原方程組的正整數解為 x＝1
y＝1z＝1
練習2求下面方程組的自然數解。
1、 4x+3y－2z＝72、 7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52
4、 5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
例3 乙個商人將彈子放進兩種盒子裡，每個大盒子裝12個，每個小盒子裝5個，恰好裝完。如果彈子數為99，盒子數大於9，問兩種盒子各有多少個？
兩種盒子的個數都應該是自然數，所以要根據題意列出不定方程，再求出它的自然數解。
設大盒子有x個，小盒子有y個，則
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
經檢驗，符合條件的解有： x＝2x＝7
y＝15y＝3
所以，大盒子有2個，小盒子有15個，或大盒子有7個，小盒子有3個。
練習3.
1、 某校6（1）班學生48人到公園划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那麼需要小船和大船各幾隻？（大、小船都有）
2、 甲級鉛筆7角錢一枝，乙級鉛筆3角錢一枝，小華用六元錢恰好可以買兩種不同的鉛筆共幾枝？
3、 小華和小強各用6角4分買了若干枝鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一枝和7分一枝的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多，小華比小強多買來多少枝？
例題4買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？
設蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30－x－y）千克。根據題意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－
由式子可知：y<20，則y必須是2的倍數，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
練習41、 有紅、黃、藍三種顏色的皮球共26只，其中藍皮球的隻數是黃皮球的9倍，藍皮球有多少只？
2、 用10元錢買25枝筆。已知毛筆每枝2角，彩色筆每枝4角，鋼筆每枝9角。問每種筆各買幾枝？（每種都要買）
3、 曉敏在文具店買了三種貼紙；普通貼紙每張8分，螢光紙每張1角，高階紙每張2角。她一共用了一元兩角兩分錢。那麼，曉敏的三種貼紙的總數最少是多少張？
例5 某次數學競賽準備例2枝鉛筆作為獎品發給獲得
一、二、三等獎的學生。原計畫一等獎每人發6枝，二等獎每人發3枝，三等獎每人發2枝。後又改為一等獎每人發9枝，二等獎每人發4枝，三等獎每人發1枝。
問：一、二、三等獎的學生各有幾人？
設一等獎有x人，二等獎有y人，三等獎有z人。則
6x+3y+2z＝22
9x+4y+z＝22
由×2－，得12x+5y＝22
yx＝1
x只能取1。y＝2，代入得z＝5，原方程的解為 y＝2
z＝5所以，一等獎的學生有1人，二等獎的學生有2人，三等獎的學生有5人。
練習51、 某人打靶，8發打了53環，全部命中在10環、7環和5環。他命中10環、7環和5環各幾發？
2、 籃子裡有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋30個，價值24元。已知煮蛋每個0.60元，茶葉蛋每個1元，皮蛋每個1.20元。問籃子裡最多有幾個皮蛋？
3、 一頭豬賣3個銀幣，一頭山羊賣1個銀幣，一頭綿羊買個銀幣。有人用100個銀幣賣了這三種牲畜100頭。問豬、山羊、綿羊各幾頭？
答案：練1
1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7
y＝11 y＝8 y＝5 y＝2
2、 x＝3 x＝8
y＝11 y＝1
4、 x＝5
y＝3練21、 x＝1
y＝3z＝3
2、 x＝3 x＝4
y＝4 y＝2
z＝1 z＝2
3、 x＝3
y＝1z＝1
練31、 設需要小船x只，大船y只。則3x+5y＝48，y＝根據題意，x可取1、6、11，
方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11
y＝9 y＝6 y＝3
2、 設買甲級筆x枝，乙級筆y枝，則7x+3y＝60，y＝。x≤
不定方程
方程的個數少於未知數的個數的方程（或方程組）稱為不定方程（或不定方程組）。它的解是不定的。如果沒有給定不定方程的某種限制條件，那麼它就有無限多個解。
本講中所涉及的不定方程根據題目的要求和實際情況把解侷限在一定的範圍內，它可能有解，也可能無解，如果有解，也只能是有限個解。但是，限制的條件，有時很隱蔽，需要我們去認真思考。
不定解應用題
人教版 六年級數學上冊不定方程解應用題 班級姓名得分 第六講 不定方程解應用題 重點研究列出方程的個數少於未知數的個數，並且方程的解是不定的 不確定 這類方程稱為不定方程。利用簡單的不定方程的解答可以解答一些實際問題。過程 1 用100匹馬馱100筐物品，一匹大馬馱3筐，一匹中馬馱2筐，兩匹小馬馱1...
方程應用題
一元二次方程應用題 1 將一塊正方形鐵皮的四個角剪去乙個邊長為4cm的小正方形，做成乙個無蓋的盒子 已知盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長 2 將進價為40元 個的商品按50元 個 時，就能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其售量就減少10個.問為了賺得8 000元的利潤，售價應定為多少...
初等數論 不定方程與高斯函式
一 不定方程 不定方程也稱丟番圖方程，是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些要求 如是有理數 整數或正整數等等 的方程或方程組。不定方程是數論的重要分支學科，它的內容十分豐富，與代數數論 幾何數論 集合數論等都有較為密切的聯絡。其重要性在數學競賽中也得到了充分的體現，是培養思維能力的好材料，...