一、不定方程
不定方程也稱丟番圖方程，是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些要求（如是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。不定方程是數論的重要分支學科，它的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論等都有較為密切的聯絡。其重要性在數學競賽中也得到了充分的體現，是培養思維能力的好材料，它不僅要求對初等數論的一般理論、方法有一定了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創造性的解決問題。
1．不定方程問題的常見型別：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的個數（有限個還是無限個）。
2．解不定方程問題常用的解法：
（1）代數恒等變形：如因式分解、配方、換元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變數的範圍，進而求解；
（3）同餘法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變數的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；
（4）構造法：構造出符合要求的特解，或構造乙個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；
（5）無窮遞推法。
以下給出幾個求解定理：
（一）二元一次不定方程（組）
定義.形如ax+by=c(a,b,c∈z,a,b不同時為零)的方程稱為二元一次不定方程
定理1.方程ax+by=c有解的充要條件是(a,b)|c；
定理2.若(a,b)=1，且x0，y0為ax+by=c的乙個解，則方程全部解可以表示成
t為任意整數)。
定理2』..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c(a1 ,a2, …an,c∈n) 有解的充要條件是 (a1, …,an )|c.
方法與技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求ax+by=0乙個特解，從而寫出通解。當不定方程係數不大時，有時可以通過觀察法求得其解，即引入變數，逐漸減小係數，直到容易得其特解為止；
2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c時，可先順次求出，……，.若 ，則方程無解；若|，則方程有解，作方程組：
求出最後乙個方程的一切解，然後把的每乙個值代入倒數第二個方程，求出它的一切解，這樣下去即可得方程的一切解。
3．m個n元一次不定方程組成的方程組，其中m（二）高次不定方程（組）及其解法
1．因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質因式分解，然後對比兩邊，轉而求解若干個方程組；
2．同餘法：如果不定方程f(x1, …xn)=0有整數解，則對於任意m∈n，其整數解(x1, …xn)滿足f(x1, …xn)≡0(mod m)，利用這一條件，同餘可以作為**不定方程整數解的一塊試金石；
3．不等式估計法：利用不等式工具確定不定方程中某些字母的範圍，再分別求解；
4．無限遞降法：若關於正整數的命題p(n)對某些正整數成立，設n0是使成立的最小正整數，可以推出：存在，使得成立，適合證明不定方程無正整數解。
方法與技巧：
1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理論基礎是整數的唯一分解定理，分解法作為解題的一種手段，沒有因定的程式可循，應具體的例子中才能有深刻地體會；
2．同餘法主要用於證明方程無解或匯出有解的必要條件，為進一步求解或求證作準備。同餘的關鍵是選擇適當的模，它需要經過多次嘗試；
3．不等式估計法主要針對方程有整數解，則必然有實數解，當方程的實數解為乙個有界集，則著眼於乙個有限範圍內的整數解至多有有限個，逐一檢驗，求出全部解；若方程的實數解是無界的，則著眼於整數，利用整數的各種性質產生適用的不等式；
4．無限遞降**證的核心是設法構造出方程的新解，使得它比已選擇的解「嚴格地小」，由此產生矛盾。
定理3 方程x1+ …+xn=k（k∈n+）
（1）非負整數解有組
（2）當k≥n時，正整數解有組
例題1．求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+24的所有正整數解。
2．設k是給定的正整數，k≥2，求證：連續3個正整數的積不能是整數的k次冪
3．確定方程的全部非負整數解
4．求證下列數不能表示為若干連續整數的立方和
（1）38597
（2）36617
5．正整數n不能被2，3整除，且不存在非負整數a，b，使得，求n最小值
6．求的全部正整數解
7．求的整數解
8．試證無整數解
9.試求所有的正整數a，b，c，使
10．試證無非零整數解
11．甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序參加淘汰賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰；勝者再與負方2號隊員比賽……，直到一方隊員全被淘汰，另一方才算勝利，形成一比賽過程。那麼所有可能出現的比賽過程有幾種？
12. m，n∈，，試求最大值
13.是否存在正整數m，使得方程有無窮組正整數解？
二、高斯函式
1、高斯函式的定義
設，用表示不超過的最大整數(如，)，則稱為高斯函式，也叫取整函式。
由定義，，故≥0，稱為的小數部分。
2、高斯函式性質
1）x=[x]+,0≤<1 ； [x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；
2）當時，有；
3）對於任意實數、，有：，且；
4）對於任意整數，有：；
5） ；
6）對於任意正整數及實數，有：；
7）若x∈r+,n∈n*，則不超過x的正整數中，是n的倍數的數共有個；
8）在n!的質因數分解式中，質數p的指數是…
3、函式性質
1）的充要條件是。
2）的充要條件是。
3）若，，，則。
例題1.求1995！末尾0的個數
2.求3.求證：對於任意實數都有：。
4.（1）找出乙個實數x，滿足
（2）求證：滿足上述等式的x都不是有理數
5.求證：對任何自然數k（k≥2），存在無理數r，使得任何自然數m，
6.沿圓周按順序依次寫下1到n（n>2）的正整數，要求每對相鄰的兩位數按十進位制至少有乙個數字相同。求n最小值
7.找出連續21個整數，使其每個數至少有乙個素因子p（2≤p≤13），且每個素因子至少是其中乙個數的素因子
8 解方程： （第20屆莫斯科數學競賽題）
9求方程的正實根。
練習題1．解不定方程x2+y2+z2=x2y2
2．設k是給定的正整數，k≥2，求證：連續4個正整數的積不能是整數的k次冪
3．求證：不定方程無正整數解
4．求的全部正整數解
5．試求所有的正整數n，使有正整數解
6. 在一次實戰軍事演習中，紅方的一條直線防線上設有20個崗位。為了試驗5種不同新式**，打算安排5個崗位配備這些新式**，要求第乙個和最後乙個崗位不配備新式**，且每相鄰5個崗位至少有乙個崗位配備新式**，相鄰兩個崗位不同時配備新式**，問共有多少種配備新式**的方案？
7.當時，
8、解方程：
9.求證：對於任意n∈n+，存在n個連續正整數，它們都不是素數的整次冪
10、（08年全國高中數學聯賽第二試第二題）設是週期函式，和1是的週期且．證明：
（ⅰ）若為有理數，則存在素數，使是的週期；
（ⅱ）若為無理數，則存在各項均為無理數的數列滿足 ，且每個都是的週期．
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