第4章單個構件的承載能力--穩定性
4.1 穩定問題的一般提法
4.1.1 失穩的類別
傳統分類:分支點失穩和極值點失穩。
分支點失穩:在臨界狀態時,初始的平衡位形突變到與其臨近的另一平衡位形。（軸心壓力下直杆）
極值點失穩：沒有平衡位形分岔,臨界狀態表現為結構不能再承受荷載增量。
按結構的極限承載能力：
(1) 穩定分岔屈曲：分岔屈曲後，結構還可承受荷載增量。軸心壓桿
(2) 不穩定分岔屈曲：分岔屈曲後,結構只能在比臨界荷載低的荷載下才能維持平衡位形。軸向荷載圓柱殼
(3) )躍越屈曲：結構以大幅度的變形從乙個平衡位形跳到另乙個平衡位形。 鉸接坦拱，在發生躍越後, 荷載還可以顯著增加,但是其變形大大超出了正常使用極限狀態。
4.1.2 一階和二階分析
材料力學： 高數：
m>0 <0 ； m<0 >0 ； m與符號相反
大撓度理論）
當與1相比很小時 （1小撓度理論）
不考慮變形，據圓心x處一階彎矩
考慮變形二階彎矩
將它們代入（1）式：
一階分析
二階分析
邊界條件
（2）由（2）有得尤拉臨界荷載
此為穩定分析過程：達臨界荷載，構件剛度退化為0，無法保持穩定平衡，失穩過程本質上是壓力使構件彎曲剛度減小，直至消失。
4.1.3 穩定極限承載能力穩定問題多樣性整體性相關性
構件穩定承載能力除與材料效能有關外，還與結構缺陷有關；
幾何缺陷:桿件的初始彎曲、初始偏心以及板件的初始不平度、
力學缺陷:初始應力和力學引數(如彈性模量,強度極限等)的不均勻性
影響最大是殘餘應力：使得構件截面的一部分提前進入屈服,從而導致該區域的剛度提前消失,造成穩定承載能力的降低。
幾何缺陷實質上是以附加應力的形式影響穩定承載能力的。
缺陷的存在使得結構的失穩都呈彈塑性狀態。
一些簡化方法來處理桿件的非彈性穩定問題,
(1) 切線模量理論。在非彈性應力狀態, 取相應應力點的切線斜率et(稱為切線模量)代替線彈性模量e。
(2) 折算模量理論(亦稱雙模量理論)。認為荷載p達到臨界荷載時，截面上一部分加壓,另一部分減壓。減壓區按彈性階段考慮，整個截面取折算模量。
；； 為加壓（減壓）區，對中性軸的慣性矩
失穩多樣性：軸心受壓構件破壞形式彎曲屈曲，扭轉屈曲,彎扭屈曲，除軸壓件，
受彎構件和壓彎構件。結構的所有受壓部位在設計中都存在處理穩定的問題。
整體性：組成結構的構件與相鄰構件的相互約束作用，圍護結構與承重結構之間
的相互約束作用。
相關性：不同失穩模式的耦合作用、區域性和整體屈曲、
單軸對稱截面的軸心受壓構件在其對稱平面外失穩時,總表現為彎曲失穩。
4.2 軸心受壓構件的整體穩定性
影響軸心受壓構件的整體穩定性的主要因素是截面的縱向殘餘應力,構件的
初彎曲,荷載作用點的初偏心以及構件的端部約束條件等。
4.2.1 縱向殘餘應力對軸心受壓構件整體穩定性的影晌
1. 殘餘應力的測量和分布
起因:焊接結構：在施焊過程中,焊縫及其近旁金屬的熱膨脹受到溫度較低部分的約束而不能充分發展,焊後降溫過程中高溫部分的收縮再次受到制約而留下很高的拉應力。
距焊縫較遠的區域相應存在壓應力。
型鋼在軋制後不同部位冷卻不均勻；構件經冷校正後有塑性變形；板邊緣經火焰切割後和焊接有類似的效應。
鋸割法測量短柱殘餘應力 p88。
2． 從短柱段看殘餘應力對壓桿影響
採用假定：1短柱是理想彈塑性體；
2為避免柱在全截面屈服之前發生屈曲，擷取柱長細比不大於10一段短柱；
3忽略對效能影響不大的腹板部分應力及殘餘應力。
圖c: 截面的應力應變變化呈直線關係, 彈性模量為常數e
圖d: 翼緣的外側先屈服, 彈性區kb段
圖e:外力繼續增加,彈性區kb段不斷縮小,時全截面屈服
圖f（分析殘餘應力的影響）:1階段為oa，a點是平均應力的比例極限，ab 即為短柱段的彈塑性應力應變曲線，a點後，構件已有部分屈服，增加軸線壓力只能由截面彈性區面積ae負擔，切線模量殘餘應力使柱段受力提前進入了彈塑性受力狀態,降低軸心受壓柱的承載能力。
臨界力確定（失穩破壞）：
1．對於兩端鉸接的等截面軸心受壓柱，,當截面的平均臨界應力柱在彈性階段屈曲,彎曲屈曲力仍由尤拉臨界力確定。
2．按照切線模量理論，截面外側已屈服。柱發生微小彎曲時只能由截面的彈性區來抵抗彎矩,它的抗彎剛度
此時臨界力
相應臨界應力
長細比迴轉半徑
對不同（弱軸，強軸）屈曲時,不僅臨界應力不同,殘餘應力對臨界應力的影響程度也不相同。
以工字形截面柱為例對y -y軸屈曲
對x-x軸屈曲：
k是彈性區截面積ae與全截面積a比值，ke是切線模量et：因此切線模量不能普遍應用於軸心受壓屈曲應力。因為k未知，因此要求屈曲應力還要乙個方程：
截面；臨界應力（集合陰影區力計算截面臨界應力）：
聯合求解可得與對應
無量綱曲線p91。
4.2.2 構件初彎曲對軸心受壓構件整體穩定性的影晌
軸心受壓構件在製造和運輸的過程中,桿件不可避免地存在微小彎曲,彎曲的形式是多種多樣的，最具有代表性, 正弦半波圖形的初彎曲:.
初彎曲的彈性軸心壓桿的壓力與撓度的關係：
總撓度 (尤拉力)
杆**的總撓度 ,
以n/ne為縱座標，杆**撓度為橫座標畫出壓力撓度曲線
b：不存在初彎曲的軸心壓桿 a：存在初彎曲的彈性軸心壓桿
對理論彈性體，按上面方法計算臨界尤拉力，而實際材料一般當成理想彈塑性體，對於理想的彈塑性體，我們考慮在軸線壓力n和彎矩的共同作用下截面邊緣纖維開始屈服,杆即進入了彈塑性階段。
對於無殘餘應力的軸心壓桿,截面開始屈服的條件是 ：
w：受壓最大纖維毛截面抵抗矩（格構式軸心壓桿、冷彎薄壁型鋼軸心壓桿）
引進相對初彎曲符號：，杆**截面的荷載相對初偏心率，ρ=w/a是截面的核心距長細比
將代入上面屈服條件
鋼結構設計規範對壓桿初彎曲的取值規定均為桿長的1/1000,而冷彎薄壁型鋼技術規範規定為1/750
將代入：
可以反映初彎曲對塑性發展潛力不大的細長桿件的承載力的影響
由式可知，長細比λ值大而值小,初彎曲的不利影響愈大。
另外(迴轉半徑/截面核心距)愈大初彎曲的不利影響也愈大。
以尤拉力和正則化長細比e彈性模量
代入可得截面邊緣纖維開始屈服時平均應力與屈服強度fy的比值
4.2.3 構件初偏心對軸心受壓構件整體穩定性的影晌
由於構造原因和構件截面尺寸的變異,杆端的軸壓力不可避免地會形成初偏心，根據研究資料,可取的相對偏心率來考慮對軸心壓桿的影響。
在彈性工作階段,力的平衡微分方程是:
解方程：
杆**的最大撓度（將代入）
初偏心對壓桿影響本質上和初彎曲是相同,但影響的程度有不同。因為初偏心的數值很小, 對短桿影響較大。
4.2.4 杆端約束對軸心受壓構件整體穩定性的影響
我們前面分析考慮桿件兩端鉸接，而實際還有許多其它約束形式：我們根據杆端的約束條件用等效的計算長度來代替杆的幾何長度,即取.
μ：計算長度係數（查表4-3） 相應杆臨界力
4.2.5 軸心受壓構件整體穩定計算（彎曲屈曲）
1.軸心受壓柱的實際承載力
a理想挺直的軸心受壓柱發生彈性彎曲屈曲 （分岔屈曲）
b理想的挺直的軸心受壓柱發生彈塑性彎曲屈曲 （分岔屈曲）
c實際的桿件存在幾何缺陷和殘餘應力, 所以實際的軸心受壓柱一經受力就產生撓度。（初彎曲的矢高，撓度，a點表示柱**截面的邊緣纖維開始屈服,柱進入彈塑性發展階段，c點時柱的抵抗能力開始小於外力的作用。c點之前柱能維持穩定平衡狀態,c點之後柱不再能維持穩定平衡,c為極限承載力,此處曲線有極值，彎曲失穩屬於極值點失穩。
）按照概率統計理論,影響柱承載力不利因素,其最大值同時出現於一根柱子的可能性是極小的。比較合理是初彎曲和殘餘應力同時出現，初偏心不必另行考慮。柱的極限承載力以符號nu表示。
軸心受壓柱應按下式計算整體穩定:
n：軸心受壓構件的壓力設計值； a：構件的毛截面面積；f：鋼材的抗壓強度設計值；：軸心受壓構件的穩定係數（含義見96頁）。見附表17
2. 列入規範的軸心受壓構件穩定係數p97
當構件的長細比相同時,其承載力往往有很大差別。它與殘餘應力的分布和初彎曲影響有關，對於軸心受壓構件，我們將其分為四類截面的a,b ,c和d(具體見書)
3.軸心受壓構件穩定係數表示式
定義由前4.2.2公式4-19 ，當有壓桿初彎曲時，
如以（考慮缺陷和殘餘應力的極限承載力）代替上式n
我們反算出，此時稱為等效缺陷（考慮殘餘應力和初彎曲的影響）。
對於b類截面：
；時將其代入4-19式求
時4.2.6 軸心受壓構件的扭轉屈曲和彎曲屈曲
前面為構件均彎曲屈曲，實踐還有扭轉屈曲和彎扭屈曲
1. 扭轉屈曲：
據彈性穩定理論，兩端鉸支且翹曲無約束桿件，扭轉屈曲力
g：材料剪下模量 it:扭轉慣性矩 iw：翹曲常數或扇性慣性矩
：截面關於剪心的極迴轉半徑
：極慣性矩
引入扭轉屈曲換算長細比：
臨界力對於十字形截面，因無強弱軸之分，且扇性慣性矩為0，因而
（，鋼，）此時與杆長度無關
而臨界彎曲力與桿件長度有關，下降，上公升，所以短。
此時nz與板件區域性屈曲臨界力等，只要區域性穩定有保障，就不會出現扭轉失穩
所以規範：雙軸對稱式十字形截面不得小於5.07b/t保證局穩性（b/t為懸伸板件寬厚比）
2. 彎扭屈曲
單軸對稱截面繞對稱軸失穩時必然呈彎扭屈曲
x軸彎，產生通過形心剪力，與剪力中心s相距會產生繞s點扭轉。
根據彈性穩定理論，開口截面的彎扭屈曲臨界力,
引進彎扭屈曲換算長細比：
對於有扭轉出現桿件，要先求出換算長細比，再查出值代入進行整體穩定性校核
4.3 實腹式柱和格構式柱的截面選擇計算
4.3.1 實腹式柱的截面選擇計算
1.實腹式軸心壓桿的截面形式（見書）
2.實腹式軸心壓桿的計算步驟：（在已知鋼材的標號、壓力設計值、計算長度以及截面形式，確定截面尺寸）
(1)先假定杆的長細比：
對於荷載小於1500kn,計算長度為5-6m的壓桿,可假定=80-100,
荷載為3000-3500kn的壓桿,假定=60-70。
鋼結構第四章答案
習題參 解 由構件x處截面的力矩平衡，得到方程，可進行數學推導，求得尤拉臨界荷載值。令，則 顯然平衡方程即為二階常係數非齊次線性方程的求解。齊次方程求解 令，便可解得，故通解為 方程的特解求解 有，其中為一次多項式，由於0不是特徵方程的根，可令，代入方程得 則，於是可得方程的全解為 邊界條件 所以 ...
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