江蘇省沭陽高階中學數列的綜合複習
一數列的基本知識總結
（一）等差數列：
1.證明數列是等差數列方法：
1.定義：
2.通項公式：
3.等差中項：
4.前項和公式：
2. 基本的公式和性質：
1.，推廣： 。
2.變式：。
3.若，則有，反之不一定成立。
4.。5.。
6.仍為等差數列，公差為。
7.為等差數列，公差為。
8.為等差數列，則仍為等差數列，公差為。
9.仍為等差數列，公差為。
10.等差數列共有項，則奇數項之和，偶數項之和，所以有，。
11.等差數列共有項，則奇數項之和，
偶數項之和，所以有，。
12. 等差數列中，，求。
13. 等差數列的前項和為，，求。
14. 等差數列的前項和為，求。
15. 等差數列的前項和為，等差數列的前項和為，則。
16.為各項均為正數的等比數列，則數列為等差數列。
（二）等比數列：
1. 證明數列是等比數列的方法：
1.定義：或
2.等比中項：
3.通項公式：
2. 基本的公式和性質：
1.，。
2.若，則。
3. 等比數列的增減性：當或時,是遞增數列;當,或時,是遞減數列;當時,是常數列;當時,是擺動數列。
4. 等比數列的前n項和公式：
∴當時， ① 或 ②
當時，當已知時用公式①；當已知時，用公式②.
5.是等比數列的前項和，
①當且為偶數時，不是等比數列。
②當或為奇數時， 仍成等比數列。
6. 等比數列共項，則
7.均為等比數列，且公比分別為，則，，等均為等比數列，且公比為等。
8.是數列的前項和，且，則數列為等比數列。
9.是數列的前項和，則數列的前項和為。
二數列的常見問題：
（一） 證明題：
1.數列中，
（1）證明數列為等比數列。
（2）求通項。
（3）當時，求和。
2.數列中，試判斷數列是否為等比數列。並求。
3. 已知都是不等於1的正數，且，如果成等差數列，求證：成等比數列。
4.設均為等比數列，且公比分別為，，且，求證：數列
不是等比數列。
5.設數列中，且。
（1）若，求證：數列為等比數列。
（2）若，求證：數列為等差數列。
（3）求數列的通項公式並求和。
6. 數列的前n項和記為，已知。
證明：（1）數列是等比數列；
（2）．
7. 等比數列前項和與積分別為和，數列的前項和為，
求證：8.已知一元二次方程有兩個相等的實數根，求證：成等差數列。
9.已知數列為等比數列，。
（1）求數列的通項公式；
（2）設為數列的前項和，證明：。
10.已知是與的等差中項，是與的等比中項，且均為正數，求證：
11.已知數列為由正數組成的等比數列，。
求證：。
（二） 通項公式問題：
1. 等差、等比數列的基本問題：
（1）已知，
且是等差數列的前三項，求數列的通項公式。
（2）已知是等差數列，且，
，則數列的通項公式。
（3）是等差數列的前項的和，已知與的等比中項為，與的等差中項為1，求。
（4）設等比數列的公比為，它的前項和為40，前項和為3280，且在前項中數值最大的項為27，求數列的通項公式及第項。
（5）已知是各項均為正數的等差數列，、、成等差數列．又，…．
證明為等比數列；求的通項公式及其前項和。
2. 利用與前項和的關係求通項:
(1)是數列的前項的和,根據條件求。
； ； 。
（2）已知數列的前項和為，且,求數列的通項公式。
（3）數列的前n項和為s,且n=1,2,3….求
求數列的通項公式；
的值.（3）已知在數列中，，它的前項和為，且。（1）求證：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式。
（4）設數列前項之和為，若且，問：
數列成等比數列嗎？
（5）數列的前n項和記為，已知。
證明：數列是等比數列；
．（6）已知數列滿足，求。
3.已知遞推關係求通項公式：
（1）已知數列滿足，且，求。
（2）已知數列滿足，且求。
（3）設是首項為1的正項數列，且，求它的通項公式。
（4）已知數列滿足，求數列的通項公式。
（5）已知數列滿足，求證：數列為等差數列，並求數列的通項公式。
（6）已知數列滿足，求數列的通項公式。
（7）已知數列滿足，求數列的通項公式。
4.特殊問題：
（1）數列滿足，求數列的通項公式。
（2）已知數列為等差數列，公差中的項組成的數列恰為等比數列，其中，求
（三） 遞推關係問題：
（1）數列滿足，那麼數列中的不同的項有多少。
（2）數列滿足為常數，求。
（四） 數列求和問題：
1.公式法：等差，等比數列的前項和
（1）設等差數列的前項和為，且，
求數列的前項和。
2.轉化法（拆項法）：
（1）求和。
（2）求數列的前項和
3.裂項法：
（1）求數列前項和。
（2）求數列前項和。
4.錯位相減法：
（1）求數列前項和。
（2）求數列的前項和。
（五） 等差數列等比數列中的特殊問題：
1.等差數列等比數列運算技巧問題：
已知等差數列中
（1），求。
（2），求及。
（3），求。
（4）, 求及前9項和。
（5），求。
（6），，求。
（7），求其前項的和。
（8），求。
（9）公差為，，求。
（10）也為等差數列，，求的前100項的和。
（11）共項，它的前項之和是100，後項之和是200，求數列的中間項之和。
（12）前10項的和是310，前20項的和是1220，求數列的前30項之和。
已知等比數列中
（1）, 求。
（2），，求。
（3），求之值。
（4）。
（5）公比是，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，求a1＋a2＋a3＋…＋a100.
2.公共項問題：
（1）在兩個等差數列與中，求它們相同項的和.
(2)已知數列，求兩數列公共項所形成的數列的通項公式。
3.最值問題：
（1）等差數列中，，求的最大值。
（2）在等差數列中，已知，問數列前多少項和最大，並求出最大值．
（3）在等比數列中，，使的最小自然數是哪個。
（4）如果數列滿足，試問：數列中是否存在最大項？若存在，求出最大項，若不存在，請說明理由。
4.變形數列的和：
（1）已知等差數列的第項為，第項為，試求
的值。（2）已知等差數列的前項和為，求數列的前項和。
5.比值問題：
（1）兩個等差數列，它們的前項和之比為, 求這兩個數列的第九項的比。
（2）兩個數列和均成等差數列公差分別是, , 求與的值。
（3）已知數列
6.奇數項偶數項和的問題：
（1）等差數列共項，其中奇數項的和為51，偶數項的和為，且首項為1，求此數列的末項和通項公式。
（2）.等差數列中，,前12項中的奇數項的和與偶數項的和的比為27：32，求公差。
（3）乙個有窮等比數列的首項為1，項數為偶數，其奇數項之和為85，偶數項之和為170，求這個數列的公比和項數。
7.存在性問題：
（1）設數列的首項為，前項和為，滿足：。是否存在常數，使得數列為等比數列，若存在，求出的值，若不存在請說明理由。
（2）已知數列，其中，求數列為等比數列，求常數。
（3）設數列的前項和為，且其中為不等於和0的實數。
求證：數列為等比數列；設數列的公比，數列滿足，，使求數列的通項公式；設數列的前項和為，問是否存在非零常數，使數列為等差數列？若存在求出，不存在說明理由。
（六） 數列的應用性問題：
（1）從盛有鹽的質量分數為20%的鹽水的容器中倒出鹽水，然後加入水，以後每次都倒出鹽水，然後再加入水，
問：第5次倒出的的鹽水中含鹽多少？經6次倒出後，一共倒出多少鹽？此
時加水後容器內鹽水的鹽的質量分數為多少？
（2）某地區荒山2200畝，從2023年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以後每一年比上一年多植樹50畝
若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化?
若每畝所植樹苗、木材量為立方公尺，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那麼全部綠化後的那一年年底，該山木材總量為，求的表示式.
若，計算（精確到立方公尺）。
（3）某城市2023年末汽車保有量為30萬輛，預計此後每年報廢上一年末汽車保有量的6%，並且每年新增汽車數量相同為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那麼每年新增汽車數量不應超過多少輛？
（七）數列和函式的綜合性問題：
（1）已知函式, 數列是公差為的等差數列，數列是公比為的等比數列, 若, , , ,
求數列,的通項公式；
設數列對任意的自然數均有
成立，求的值。
（2）已知函式。
試求其反函式，並指出其定義域；
若數列的前項和為，對所有大於1的自然數都有，且，求數列的通項公式；
令，求數列的前項和。
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