剩餘定理詳細解法
中國數學史書上記載：在兩千多年前的我國古代算書《孫子算經》中，有這樣乙個問題及其解法：
今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三：七七數之剩二。問物幾何？
意思是說：現在有一堆東西，不知道它的數量，如果三個三個的數最後剩二個，如果五個五個的數最後剩三個，如果七個七個的數最後剩二個，問這堆東西有多少個？ 你知道這個數目嗎？
《孫子算經》這道著名的數學題是我國古代數學思想「大衍求一術」的具體體現，針對這道題給出的解法是： n=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23
如此巧妙的解法的關鍵是數字70、21和15的選擇： 70是可以被5、7整除且被3除餘1的最小正整數，當70×2時被3除餘2 21是可以被3、7整除且被5除餘1的最小正整數，當21×3時被5除餘3 15是可以被3、5整除且被7除餘1的最小正整數，當15×2時被7除餘2 通過這種構造方法得到的n就可以滿足題目的要求而減去2×105 後得到的是滿足這一條件的最小正整數。
韓信點兵又稱為中國剩餘定理
韓信點兵又稱為中國剩餘定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。
劉邦茫然而不知其數。
我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然後再加3，得9948（人）。
中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：
「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」 答曰：「二十三」 術曰：
「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。」
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。
中國剩餘定理（chinese remainder theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。
中國剩餘定理例題講解1
中國剩餘定理例題講解2
一道中國剩餘定理型別題（附兩種解法）
乙個三位數除以9餘7，除以5餘2，除以4餘3，這樣的三位數共有幾個？
答案：方法一：
用剩餘定理做：
7*100+2*36+3*45=907
9、5、4的最小公倍數是：180 907/180=5。。。7
所以這樣的三位數是：180*1+7=187 180*2+7=367 180*3+7=547 180*4+7=727 180*5+7=907
共有：五個
方法二：
列舉法： 類似題型若無特殊的條件，一般都通過列舉法找出符合條件的最小值，然後在此基礎上加上各除數的最小公倍數，則可以得出相應的答案。
具體到此題，我們可以利用一些特殊條件縮小範圍，減少列舉次數。
①因為除以4餘3，因此該數為奇數；
②因為除以5餘2，因此該數個位數為2或7，根據①，可知該數個位數應為7；
③因為除以9餘7，結合②，該數最少應為97；結合①，經過嘗試，得到符合條件的最小數值為187
④3個除數9、5、4的最小公倍數180，
因此符合條件的三位數有187、367、547、727、907共5個。
關於中國剩餘定理的一道數學題
一條長長的階梯，
如果每步跨 2 級，那麼最後餘 1 級；
如果每步跨 3 級，那麼最後餘 2 級；
如果每步跨 5 級，那麼最後餘 4 級；
如果每步跨 6 級，那麼最後餘 5 級；
如果每步跨 6 級，那麼最後餘 5 級；
只有當每步跨7級時，最後才剛好走完.
問這條台階最少有多少級.
答案：如果每步跨 2 級，那麼最後餘 1 級；
可知是個奇數如果每步跨 3 級，那麼最後餘 2 級；
可知+1就是3的整數倍如果每步跨 5 級，那麼最後餘 4 級；
可知尾是4或9.但是是個奇數,所以是9如果每步跨 6 級，那麼最後餘 5 級；
可知+1就是6的整數倍只有當每步跨7級時，最後才剛好走完.
可知是7的整數倍7*7=49 7*17=119 49+1不是3的倍數,排除了.
119+1是3和6的整數倍,所以台階有119級
在中國數學史上，廣泛流傳著乙個「韓信點兵」的故事：
韓信是漢高祖劉邦手下的大將，他英勇善戰，智謀超群，為漢朝的建立了卓絕的功勞。據說韓信的數學水平也非常高超，他在點兵的時候，為了保住軍事機密，不讓敵人知道自己部隊的實力，先令士兵從1至3報數，然後記下最後乙個士兵所報之數；再令士兵從１至５報數，也記下最後乙個士兵所報之數；最後令士兵從1至7報數，又記下最後乙個士兵所報之數；這樣，他很快就算出了自己部隊士兵的總人數，而敵人則始終無法弄清他的部隊究竟有多少名士兵。
這個故事中所說的韓信點兵的計算方法，就是現在被稱為「中國剩餘定理」的一次同余式解法。它是中國古代數學家的一項重大創造，在世界數學史上具有重要的地位。
最早提出並記敘這個數學問題的，是南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的「物不知數」題目。這道「物不知數」的題目是這樣的：
「今有一些物不知其數量。如果三個三個地去數它，則最後還剩二個；如果五個五個地去數它，則最後還剩三個；如果七個七個地去數它，則最後也剩二個。問：這些物一共有多少？」
用簡練的數學語言來表述就是：求這樣乙個數，使它被３除餘２，被５除餘３，被７除餘２。《孫子算經》給出了這道題目的解法和答案，用算式表示即為：
用現代的數學術語來說，這幅「開方作法本源圖」實際上是乙個指數為正整數的二項式定理係數表。稍懂代數的讀者都知道：
《孫子算經》實際上是給出了這類一次同余式組
的一般解：
其中70、21、15和105這四個數是關鍵，所以後來的數學家把這種解法編成了如下的一首詩歌以便於記誦：
「三人同行七十（７０）稀，
五樹梅花二一（２１）枝。
七子團圓正半月（１５），
除百零五（１０５）便得知。」
《孫子算經》的「物不知數」題雖然開創了一次同余式研究的先河，但由於題目比較簡單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒有上公升到一套完整的計算程式和理論的高度。真正從完整的計算程式和理論上解決這個問題的，是南宋時期的數學家秦九韶。秦
九韶在他的《數書九章》（見圖１一７一１）中提出了乙個數學方法「大衍求一術」，系統地論述了一次同余式組解法的基本原理和一般程式。
秦九韶為什麼要把他的這一套計算程式和基本原理稱為「大衍求一術」呢？這是因為其計算程式的核心問題是要「求一」。所謂「求一」，通俗他說，就是求「乙個數的多少倍除以另乙個數，所得的餘數為一」。
那麼為什麼要「求一」呢？我們可以從「物不知數」題的幾個關鍵數字７０、２１、１５中找到如下的規律：
其中70是5和7的倍數，但被3除餘1；21是3和7的倍數，但被5除餘1；15是3和5的倍數，但被7除餘1，任何乙個一次同余式組，只要根據這個規律求出那幾個關鍵數字，那麼這個一次同余式組就不難解出了。為此，秦九韶提出了乘率、定數、衍母、衍數等一系列數學概念，並詳細敘述了「大衍求一術」的完整過程。（由於解法過於繁細，我們在這裡就不展開敘述了，有興趣的讀者可進一步參閱有關書籍。
）直到此時，由《孫子算經》「物不知數」題開創的一次同余式問題，才真正得到了乙個普遍的解法，才真正上公升到了
「中國剩餘定理」的高度。
從《孫子算經》到秦九韶《數書九章》對一次同余式問題的研究成果，在１９世紀中期開始受到西方數學界的重視。１８５２年，英國傳教士偉烈亞力向歐洲介紹了《孫子算經》的「物不知數」題和秦九韶的「大衍求一術」；１８７６年，德國人馬蒂生指出，中國的這一解法與西方１９世紀高斯《算術**》中關於一次同余式組的解法完全一致。從此，中國古代數學的這一創造逐漸受到世界學者的矚目，並在西方數學史著作中正式被稱為「中國剩餘定理」。
孫子剩餘定理-正文
中國南北朝時期（5～6世紀）著名的著作《孫子算經》中「物不知數」問題所闡述的定理。物不知數問題的原題是：「今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？
」這屬於數論的一次同餘方程組問題。用現代數學符號可表為求下列同餘方程的整數解：
式中 《孫子算經》中使用一種適合解一般的一次同餘方程組的方法，求得此特殊問題的最小整數解n=23。解題步驟是：選定5×7的乙個倍數，被3除餘1，即70；選定3×7的乙個倍數，被5除餘1，即21；選定3×5的乙個倍數，被7除餘1，即15。
然後按下式計算
式中105為3,5,7的最小公倍數，p為適當選取的整數,使得0＜n ≤105，這裡取p=2。
上述問題和解法，可直接推廣為定理：設α1,α2,…,αn兩兩互素，則
, (1)
有整數解,且對模m是惟一的。若記最小正整數解為n,則
,式中kj滿足
。p為適當選取的整數,使得n≤m。「物不知數」問題,在歐洲是乙個知名的問題，高斯於19世紀初給出了它的一般性定理。
因此國際上稱上述《孫子算經》中的問題為孫子剩餘定理或中國剩餘定理。
《孫子算經》沒有給出求kj的具體演算法。宋代秦九韶在《數書九章》中第一次詳細地、完整地闡述了求解一次同餘方程組的演算法，他稱做「大衍總數術」，其中包括求kj的一種機械化演算法──大衍求一術。
秦九韶稱αj為「定數」，kj為「乘率」,由中屢減αj所得的餘數gj(<αj)為「奇數」。「大衍求一術雲：置奇右上，定居右下,立天元一於左上(圖1)。
先以右上除右下，所得商數與左上一相生(即相乘)入左下。然後乃以右行上下以少除多，遞互除之，所得商數隨即遞互累乘歸左行上下，須使右上末後奇一而止。乃驗左上所得，以為乘率。
」秦九韶在例題中曾以gj=3,αj=4為例，列出求kj的算草布式：
此時右上餘1，故左上即為乘率kj=3。
秦九韶還在歷史上首次提出了當 α1,α2,…,αn並非兩兩互素時, 求解(1)的方法。他設計了「兩兩連環求等,約奇弗約偶」，"復乘求定"等演算法,先約去諸模數α1,α2,…,αn中包含的多餘的因子,得到新的一組,使恰為 α1,α2,…,αn的最小公倍數。再對,中的因子重新歸併，得到使仍為α1,α2,…,αn的最小公倍數，且它們兩兩互素。
這樣便將問題化約為模數兩兩互素的情形。秦九韶尚未提及當α1,α2,…,αn並非兩兩互素時，方程(1)可解的條件。但從他所舉八道例題中有七道的模數滿足可解條件這一事實分析，許多人認為秦九韶已知道該條件。
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