線性代數期終考試卷（五份）
一、 試卷一
1)填空題（每小題4分，共20分）
（1） 設a=,則ata=
（2） 在分塊矩陣a=中，已知、存在，則
（3） 設a=，b為三階非零矩陣，滿足ab=o，則r(b)= 1
3)因為rank(ab)>=rank(a)+rank(b)-n，而本題中rank(ab)=0,rank(a)-2,所以rank（b）=1
（4） 若x=，則x
三次代數方程=0的根是 1，2，－2
2）選擇題（每小題3分，共15分）
（1）設a=,b=
p1=，p2=，則必有（ c ）
(a)ap1p2=bb)ap2p1=b
(c)p1p2a=bd)p2p1a=b
(2)設a是三階矩陣，a*是其轉置伴隨矩陣，又k為常數k0,，則(ka)*=( b )
(a)ka* (b)k2a* (c)k3a* (d) a*
(3)若r(a)=r（a） 又無窮多個解 (b)有唯一解 (c)無解 (d)不一定有解
3）當r（a）=rank（a|b）時才有解，而本題中有可能rank(a|b)=r+1。
(4)下列說法中正確的是（ d ）
(a）對向量組，若有全不為零的數使，則線性無關
(b) 若有全不為零的數使，則線性無關
(c)若向量組線性相關，則其中每個向量皆可由其餘向量線性表示
(d)任何n+2個n維向量必線性相關
(5)矩陣a=的特徵值是（ b ）
(a)1，1，0b)-1，1，1 (c)1，1，1 (d) 1，-1，-1
3）（每小題6分，共12分）
（1） 計算行列式d=
（2） 已知q1=,q2=，求q3，使q=為正交矩陣。
1）解：d=。
2）解：設q3=(x,y,z)t，則q1tq=0，q2tq=0，得
4)(共10分)設問取何值時，可唯一地表示成，，，的線性組合，（6分），並寫出此表示式（4分）。
4）解：唯一表示，所以rank(，，，)=rank(，，，,)=4
（a|b—>，所以需要a≠-1，可得：。
5)(共10分)給定矩陣a=，試求出a的特徵值（4分），問x,y滿足什麼條件時矩陣a可對角化（4分），為什麼？（2分）
5）det(a-e)=-(1+)(1-)2。所以1=2=1， 2=-1。
，要使可對角化必須，求得。
6)(共14分)對線性代數方程組
（1） 若兩兩不等，問方程組是否有解（4分），為什麼？（4分）
無解。（2） 若, (b0)，且已知方程的兩個解,試給出方程組的通解。（6分）
（1）因為，故rank(a|b)=4,rank(a)=3,因而rank(a|b)不等於rank(a);所以無解
（2），，，故通解為：
7）(共12分)已知二次型q=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)通過正交變化成標準型
q=y12+2y22+5y32。試求： （1）引數a的值。（4分）(2)所用的正交變化矩陣q。（4分）
（3）問q是否為正定二次型？為什麼？（4分）
7）（1）。提示：，即；
（2）；
（3）為正定二次型，因為特徵值全大於零。
8）(共7分)已知n階矩陣a對任意n維向量x= ，y= 均有xtay=0。試證a=o。
8）解析：取，由可求得。
二、試卷二
1) 填空題 （每小題4分，共20分）
（1） 設皆為階矩陣，已知。若，，則 e
（1）解析：
因為，則b(i-a)=i，所以(i-a)=b-1。
又，則c(i-a)=a ，所以有cb-1=a, c=ab, b-c=b-ab=b(i-a)=i;
（2） 設為三階非零矩陣，，且，則 0
（2）解析：(ab)t=o，即為ab=o,說明a有非零解b，說明rank(a)=rank(a|b)<3;
當a不等於0時，rank(b)=3,此時rank(a|b)=3,所以只有a=0，rank(a|b)<3。
(3)設三階方陣a= ，b=其中均為三維列向量，且已知deta=3， detb=4,則det(5a-2b63
(4)已知齊次線性方程組
的解空間是二維的，則 2 , -1
（4）注：齊次線性方程組的解空間的維數=n-r(a).非齊次線性方程組的解不夠成線性空間。
(5)設=,則 6+2-22+14=0
2) 選擇題（每小題3分，共15分）
（1） 設為階矩陣，為維向量，則以下命題成立的是（ c
(a)若有解時，也有解，則必可逆
(b)若有解時，也有解，則必可逆
(c)的解必是的解
(d)的解與的解無任何聯絡
(1）顯然, ax=o 的解都是 atax=o 的解.
反之, 若x1是atax=o的解則 atax1=o所以 x1tatax1=o故 (ax1)t(ax1)=o
(ax1)t(ax1)為兩個向量的內積，大於等於零，所以ax1=o
即 atax=0 的解是 ax=0 的解故 ax=0 與 atax=0 同解
(2)若是矩陣，是矩陣，下列命題不成立的是（ c ）。
(a)若則的第列（＝1，2，...,m）是以第列的元素為係數作的列向量的線性組合。
(b)若則的第行（＝1，2，...,m）是以第行的元素為係數作的行向量的線性組合。
(c)且，則的行向量組線性無關
(d)且，則的任意個行向量必線性相關
(3)設是的基礎解系，則在下列向量組中也是基礎解系的是（ b ）。
(a), ,
(b)(c(d)與等價的向量組
(3）注：線性方程組的乙個基礎解系滿足，x1,x2,...，xn線性無關，且，方程的任意乙個解可以由x1,x2,...，xn線性表示。
a,不能表示任意乙個解。排除。
b,向量組線性無關，且可以表示任意乙個解。正確。
c，因為()+()=2(),所以c中的向量組線性相關。排除。
d，設a={}，b={}，則，a可以由b線性表示，則rank(a)=rank(b),又以為n>n-r,所以a是線性相關的。不滿足基礎解系的條件。排除。
(4)已知二次型是正定的，則的範圍是( c )
（a） （b） (c) (d)
(5)若階矩陣、、滿足，則必有（ d ）。
（ab）
（cd）若、、皆可逆，則
3）（9分）設線性方程組
問、取何值時，下列方程組無解、有唯一解，有無限多組解，試寫出無限多組解的通解表示式。
3)解析：時，方程組有唯一解；時，方程組無解；時，方程組無解；時，方程組有無窮多解，解為，（。
4）（9分）給定兩組向量，；其中
，， ， ，
（1） 試證及分別線性無關；
（2） 設，，若有
問是否可逆？若可逆，求出.
4）（1）提示：證
（2）=.
5）（9分）給出四個維向量組
（a）；（b）；（c）；（d）.
設已知組（a）與（b）的秩均為3，而組(c)的秩為4，試問向量組（d）的秩等於多少？為什麼？
5）因為rank（）=rank（）=3；所以可由唯一線性表示。設；則rank（）=rank（），經過列初等變換，等於rank（）=4。
6）（9分）設二次曲面的方程 （）
經正交變換，化成。求、的值及正交矩陣。
6）答案：；。
7）（9分）設是一已知的階矩陣，滿足，試證可逆，並求出。
7）解：.提示：。
8）（6＋6＝12分）計算行列式
(1); (2)
8）解：d4經過行初等變換等到x^4=x^4; dn=
9)(8分)已知是任一階方陣，試證：若有維向量使
則向量組必線性無關。
9）提示：用定義設，兩邊左乘，可得，則，兩邊左乘，可得，則，以此類推可得，故線性無關。
三、試卷三
1） 判定下列命題是否正確，若正確在括號內填上「√」；若不正確，在括號內填上「х」（每題3分，共12分）
（1）設為三階實對稱陣，其特徵值為1，2，3，則為正定
（2）設，，，則{}為的乙個基
（3）設為階矩陣，為的個線性無關的解向量，則是的乙個基礎解系
（4）若線性相關，線性無關，則一定不能由線性表出
3）因為任意乙個解都可由線性表示，但是題目中沒有說是的所有線性無關的解，即k4）因為r()<3,r()=3,所以r()=3≠r(),所以一定不能由線性表出。
2） 填空題（每空3分，共15分）
（1）設，則＝ 48 ，＝ 36 ，（的轉置伴隨陣），
＝（1）解析：|2a|=23|a|=48, a*=|a|a-1, |a*|=|a|*|a-1|=|a|2=36
（2）設是兩個正交的維（非零）列向量，則＝ 0
（3）設是正交陣，則 0
3） （10分）設為實數，計算下列階行列式
3）解析：
=。4）（15分）討論下列方程組
在、取何值時，無解，有唯一解，有無窮多解；並求出當方程有無窮多解時的通解。
4）解：當且，方程組無解。當時方程組有唯一解；
且時，方程組有無窮多組解，解為.
5）（8分）若已知相似，且，
試求中的元素之值。
5）解析：若兩個矩陣相似，則兩個矩陣的秩、行列式、特徵值相等，r(b)=2,所以r(a)=2.
r(a)=,b的三個特徵值分別是0,1,2；所以a的三個特徵值為0,1,2。解得x=y=0。
6）（10分）
設，，試求矩陣，使得等式成立。
6）解析：等式即為：，即：，易得
x=。7）（10分）
已知(1,-1,0)t是二次型的矩陣之特徵向量，試求出化該二次型成標準型的正交變換。
7)解析：。
矩陣a的特徵值為，對應的線性無關特徵向量分別為：
8）（12分）已知階矩陣、滿足。
（1） 試證為可逆陣，其中為階單位陣；（2）試證必有；
（3）若，試求出。
8）解析：
（1）（2）（3），得a=。
9）（8分）設、是兩個階矩陣，且有個兩兩不相等的特徵值，試證：（1）的每個特徵向量必是的特徵向量，（2）一定可對角化。
9)解析：
由於有個兩兩不相等的特徵值，所以每個特徵值對應乙個特徵向量。
設，且知，這時也是屬於的的特徵向量，由互不相同知與對應成比例。設比例係數為，則，即也是的特徵向量。也成立。
（2）因為互不相同，則線性無關。而是b的全部特徵向量，即b有n個線性無關的特徵向量，所以b一定可對角化。
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