數學實驗報告

計算02-1班: 王莉

實驗八曲柄滑塊機構的運動規律

實驗目的: 本實驗主要涉及微積分中對函式特性的研究。通過實驗複習函式求導法, taylor公式和其他有關知識。著重介紹運用建立近視似模型並進行數值計算來研究討論函式的方法。

問題重述: 曲柄滑塊機構是一種常用的機械結構,它將曲柄的轉動轉化為滑塊在直線上的往復運動,是氣壓機、沖床、活塞式水幫浦等機械的主機構。圖1 為其示意圖。

記曲柄的長為,連桿的長為, 當曲柄繞固定點以角速度旋轉時, 由連桿帶動滑塊在水平槽內做往復直線運動。假設初始時刻曲柄的端點位於水平線段上, 曲柄從初始位置起轉動的角度為,而連桿與的銳夾角為(稱為擺角) 。在機械設計中要研究滑塊的運動規律和擺角的變化規律, 確切的說,要研究滑塊的位移,速度和加速度關於的函式關係,擺角及其角速度和角加速度關於的函式關係, 進而

(1) 求出滑塊的行程(即滑塊往復運動時左、右極限位置間的距離);

(2) 求出滑塊的最大和最小加速度(絕對值), 以了解滑塊在水平方向上的作用力;

(3) 求出的最大和最小角加速度(絕對值), 以了解連桿的轉動慣量對滑塊的影響;

在求解上述問題時,我們假定:

符號說明:

: 曲柄的長;

: 連桿的長度;

: 擺角(連桿與的銳夾角);

: 角速度;

p: 滑塊;

: 滑塊的位移;

: 滑塊的加速度;

問題一: 求滑塊的加速度和擺角加速度的極值

問題分析: 此問題是在給定了加速度和擺角加速度的表示式的條件下, 因為表示式子中是關於一系列變數的關係式, 想利用該表示式直接求出極值是不容易的, 所以我通過數學軟體來解決此問題。

問題求解: 由實驗模型可知, 滑塊的加速度為:

擺角加速度:

為了求出這兩個函式的極值,我們可以先畫圖,再求出極值.

實驗程式:

function shiyan801

r=100;l=300;w=240;

f1='-5760000*(cos(x)+100*(90000*cos(2*x)+10000*sin(x)*sin(x))

/(90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)';

[xmin1, ymin1]=fminbnd(f1,0,2*pi) %求加速度的最小值

subplot(2,2,1);fplot(f1,[0,2*pi]); %畫出加速度圖形

f2='5760000*(cos(x)+100*(90000*cos(2*x)+10000*sin(x)*sin(x))

/(90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)';

[xmin2, ymin2]=fminbnd(f2,0,2*pi) %求加速度的最大值

subplot(2,2,2);fplot(f2,[0,2*pi]); %畫出加速度圖形

f3='-5760000*sin(x)*(90000-10000)/((90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)'

[xmin3, ymin3]=fminbnd(f3,0,2*pi) %求角加速度的最小值

subplot(2,2,3);fplot(f3,[0,2*pi]); %畫出角加速度圖形

f4='5760000*sin(x)*(90000-10000)/((90000-10000*sin(x)*sin(x))^1.5)'

[xmin4, ymin4]=fminbnd(f4,0,2*pi) %求角加速度的最大值

subplot(2,2,4);fplot(f4,[0,2*pi]); %畫出角加速度圖形

執行結果:

圖2 加速度和角加速度函式圖

加速度的最小值為: ymin1 = -7680000 ; 加速度最大在= 0處取得;

加速度的最大值為: ymax1 = 3.9608e+006; 加速度最大在= 3.8669處取得;

角加速度的最小值為: ymin1 = -2.0365e+004 ; 角加速度最大在= 1.5708處取得;

角加速度的最大值為: ymax1 = 2.0365e+004 ; 角加速度最大在= 4.7124處取得;

此資料將用做在後面的實驗問題中的比較分析;

問題二: 利用擺角的角加速度的三種表示式, 取步長為:,計算當變化時角加速度的值,並列表加以比較。擺角的角加速度的三種表示式為:

實驗程式:

function shiyan802

r=100;l=300;w=240;

for i=1:13

x(i)=(i-1)*(pi/12);

y(i)=-r*w*w*sin(x(i))*(l^2-r^2)/((l^2-r^2*sin(x(i)))^1.5);

y1(i)=-w*w*r*sin(x(i))/l;

y2(i)=--w*w*(r*sin(x(i))/l+r^3*((sin(x(i)))^3-sin(2*x(i))*cos(x(i)))/(2*l^3));

end執行結果如下:

表1:角加速度的三種表示式的資料比較表

執行結果分析: 從結果中可以看出誤差的大小,取決於近似表示式的精度,在利用泰勒公式求近似模型時,如果展開的精度越高,則誤差就越小,在資料表中也可以看出,取得精度比高,所以結果與真實值相差的更小。

問題三: 利用,對擺角的角速度:

進行化簡,將結果與書上的表示式進行比較,並用問題二的方法進行計算比較。

問題分析: 首先對表示式(1)和(2)進行化簡.過程如下:

得到角速度的近似模型:

其次,為了將上面的(3)和(4)式的結果與問題二中的結果進行比較。列出比較公式如下:

角速度和角加速度的原公式如下:

近似方案(i):

近似方案(ii):

近似方案(iii):

實驗程式:

function shiyan803

r=100;l=300;w=240;

for i=1:13

x(i)=(i-1)*(pi/12);

y(i)=r*w*cos(x(i))/sqrt(l^2-r^2*(sin(x(i)))^2);

y1(i)=w*r*cos(x(i))/l;

y2(i)=w*(r*cos(x(i))/l+r^3*(sin(x(i)))^2*cos(x(i))/(2*l^3));

y3(i)=w*r*cos(x(i))*(1+r^2*(sin(x(i)))^2/(2*l^2))/l;

z(i)=-r*w*w*sin(x(i))*(l^2-r^2)/((l^2-r^2*sin(x(i)))^1.5);

z1(i)=-w*w*r*sin(x(i))/l;

z2(i)=-w*w*(r*sin(x(i))/l+r^3*((sin(x(i)))^3-sin(2*x(i))*cos(x(i)))/(2*l^3));

z3(i)=-w*w*r*sin(x(i))*(l^2-r^2)*(1+3*r^2*sin(x(i))*sin(x(i)))/(2*l^2))/(l^3) ;

endsubplot(4,2,1),plot(x,y),title('原始');

subplot(4,2,2),plot(x,z),title('原始');

subplot(4,2,3),plot(x,y1),title('i');

subplot(4,2,4),plot(x,z1),title('i');

subplot(4,2,5),plot(x,y2),title('ii');

subplot(4,2,6),plot(x,z2),title('ii');

subplot(4,2,7),plot(x,y3),title('iii');

subplot(4,2,8),plot(x,z3),title('iii');

執行結果如下:

表2:角速度的四種表示式的資料比較表

表3:角加速度的四種表示式的資料比較表

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