matlab 數學實驗報告
一、 實驗目的
通過以下四組實驗,熟悉matlab的程式設計技巧,學會運用matlab的一些主要功能、命令，通過建立數學模型解決理論或實際問題。了解諸如分岔、混沌等概念、學會建立malthu模型和logistic模型、懂得最小二乘法、線性規劃等基本思想。
二、 實驗內容
2.1 實驗題目一
2.1.1實驗問題
feigenbaum曾對超越函式y=λsin(πｘ)（λ為非負實數）進行了分岔與混沌的研究，試進行迭代格式xk+1=λsin(πxk),做出相應的feigenbaum圖
2.1.2程式設計
clear;clf;
axis([0,4,0,4]);
hold on
for r=0:0.3:3.9
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=r*sin(3.14*x(i-1));
endpause(0.5)
for i=101:150
plot(r,x(i),'k.');
endtext(r-0.1,max(x(101:150))+0.05,['\it=',num2str(r)])
end加密迭代後
clear;clf;
axis([0,4,0,4]);
hold on
for r=0:0.005:3.9
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=r*sin(3.14*x(i-1));
endpause(0.1)
for i=101:150
plot(r,x(i),'k.');
endend執行後得到feigenbaum圖
2.2實驗題目二
2.2.1實驗問題
某農夫有乙個半徑10公尺的圓形牛欄，長滿了草。他要將一頭牛拴在牛欄邊界的樁欄上，但只讓牛吃到一半草，問拴牛鼻子的繩子應為多長？
2.2.2問題分析
如圖所示，e為圓abd的圓心，ab為拴牛的繩子，圓abd為草場，區域abcd為牛能到達的區域。問題要求區域abcd等於圓abc的一半，可以設bc等於x,只要求出∠a和∠b就能求出所求面積。先計算扇形abcd的面積，2a÷π×πx2=2aπ2，再求ab的面積，用扇形abe的面積減去三角形abe的面積即可。
2.2.3程式設計
f=inline('acos(x/20)*x^2+100*pi-200*acos(x/20)-x*sqrt(100-(x^2)/4)-50*pi');
a=0;
b=20;
dlt=1.0*10^-3;
k=1;
while abs(b-a)>dlt
c=(a+b)/2;
if f(c)==0
break;
elseif f(c)*f(b)<0
a=c;
else
b=c;
endfprintf('k=%d,x=%.5f\n',k,c);
k=k+1;
end2.2.4問題求解與結論
k=6,x=11.56250
k=7,x=11.71875
k=8,x=11.64063
k=9,x=11.60156
k=10,x=11.58203
k=11,x=11.59180
k=12,x=11.58691
k=13,x=11.58936
k=14,x=11.58813
k=15,x=11.58752
結果表明，要想牛只吃到一半的草，拴牛的繩子應該為11.6公尺。
2.3實驗題目三
2.3.1實驗問題
飼養廠飼養動物**，設每頭動物每天至少需要700g蛋白質、30g礦物質、100mg維生素。現有5種飼料可供選用，每種飼料每千克所含營養成分含量及單價如下表。試確定既能滿足動物生長的營養需要，又可使費用最省的選用飼料的方案。
五種飼料單位質量（1kg）所含營養成分
2.3.2問題分析與模型建立
設xj (j=1,2,3,4,5)表示飼料中所含的第j種飼料的數量。由於提供的蛋白質總量必須每天滿足最低要求70g，故應有
3x1+2x2+1x3+6x4+18x5≥700
同理，考慮礦物質和維生素的需求。應有
1x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5≥30
0.5x1+1x2+0.2x3+2x4+0.8x5≥100
希望調配出來的混合飼料成本最低，故目標函式f為
f=0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.8x5
當來對決策量xj的要求應為非負。
所以該飼料配比問題是乙個線性規劃模型
min f =0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.8x5
3x1+2x2+1x3+6x4+18x5≥700
1x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5≥30
0.5x1+1x2+0.2x3+2x4+0.8x5≥100
xj≥0,j=1,2,3,4,5
2.3.3模型評述
一般的食譜問題可敘述為： 設有 n 種食物，每種食物中含有 m 種營養成分。用ija 表示乙個單位的第 j 種食物中含有第 i 種營養的數量，用ib 表示每人每天對第 i 種營養的最低需求量，jc 表示第 j 種食品的單價，jx 表示所用的第 j 種食品的數量，一方面滿足 m 種營養成分的需要同時使事物的總成本最低。
一般的食譜問題的線性規劃模型為
這類線性規劃模型還可以描述很多諸如合理下料、最小成本運輸、合分派任務等問題，具有很強的代表性。
2.3.4模型計算
將該問題化成 matlab 中線性規劃問題的標準形式min f=0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.8x5
-3x1-2x2-1x3-6x4-18x5≤-700
-1x1-0.5x2-0.2x3-2x4-0.5x5≤-30
-0.5x1-1x-0.2x3-2x4-0/;.8x5≤-100
j≥0,j=1,2,3,4,5
由matlab軟體的編輯器構作m檔案lf如下：
c=[0.2,0.7,0.4,0.3,0.8];
a=[-3,-2,-1,-6,-18;-1,-0.5,-0.2,-2,-0.5;-0.5,-1,-0.2,-2,-0.8];
b=[-700,-30,-100];
lb=[0 0 0 0 0];
ub=;
aeq=;
beq=;
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)
在matlab命令視窗鍵入lf，回車，計算結果顯示如下
x= 0.0000
0.0000
0.0000
39.7436
25.6410
fval =
32.4359
其結果顯示x1=0 x2=0 x3=0 x4=39.7436 x5=25.6410,則表示該公司分別購買第四種第五種飼料39.
7436(kg), 25.6410（kg）配成混合飼料；所耗成本32.4359（元）為滿足營養條件下的最低成本。
2.3.5模型思考：線性規劃的本質特點
一. 目標函式是決策變數的線性函式
二. 約束條件是決策變數的線性等式或不等式，它是一種較為簡單而又特殊的約束極值問題。
三. 能轉化為線性規劃問題的例項很多如：生產決策問題，一般性的投資問題，位址的選擇，運輸問題等等。
2.4實驗題目四
2.4.1 實驗題目描述
2023年到2023年各年美國人口數的統計資料如下表：
試根據以上資料，
(1) 分別用malthu模型和logistic模型建立美國人口增長的近似曲線(設美國人口總體容納量為3.5億);
(2) **2023年，2023年，2023年，2023年，2023年人口數;
(3) 對兩種**結果進行比較.
2.4.2問題的分析
2.4.2.1 malthu模型
2023年，malthus提出對生物繁殖規律的看法。他認為，一種群中個體數量的增長率與該時刻種群的的個體數量成正比。設x(t)表示該種群在t時刻個體的數量，則其增長率（dx/dt）=rx(t),或相對增長率1/x*dx/dt=r.
其中常數r=b-d,b和d分別為該種群個體的平均生育率與死亡率。
2.4.2.2 logistic模型
2023年，verhulst指出上述模型未考慮「密度制約」因素。種群生活在一定的環境中，在資源給定的情況下，個體數目越多，個體所獲資源就越少，這將抑制其生長率，增加死亡率。所以相對增長率1/x*（dx/dt）不應為一常數r,而應是r乘上乙個「密度制約」因子。
此因子隨x單調減小，設其為(1-x/k)，其中k為環境容納量。於是verhulst提出logistic模型：dx/dt=rx(1-x/k)。
2.4.3實驗設計的流程
2.4.3.1 malthu模型源**
clear;clf
x=10:10:200;
y=[3.9 5.3 7.
2 9.6 12.9 17.
1 23.2 31.4 38.
6 50.2 62.0 72.
0 92.0 106.5 123.
2 131.7 150.7 179.
3 204.0 226.5];
plot(x+1780,'k-','markersize',20);
axis([1780,2020,3,800]);
grid;hold on
n=20;
a=sum(x(1:n));
b=sum(x(1:n).*x(1:n));
c=sum(log(y(1:n)));
d=sum(log(y(1:n)).*x(1:n));
a=[n a;a b];
b=[c;d];
p=inv(a)*b;
t=10:10:800;
f=exp(p(1)+p(2)*t);
plot(t+1780,f,'ro-','linewidth',2);
k=[2000 2005 2010 2015 2020];
f=exp(p(1)+p(2)*(k-1780));
fprintf('f=%.1f',f);
2.4.3.2 logistic模型程式源**
clc;clear;
x=9:28;
y=[3.9 5.3 7.
2 9.6 12.9 17.
1 23.2 31.4 38.
6 50.2 62.0 72.
0 92.0 106.5 123.
2 131.7 150.7 179.
3 204.0 226.5];
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