數學實驗報告

實驗課題: 導數的幾何意義

班級姓名日期成績

1. 實驗目的

學習研究函式性質的方法

學習借助計算機作圖

學習觀察和分析圖形的特性

理解導數的幾何意義

曲線的斜率

曲線的上公升或下降

注點2. 實驗裝置(環境)

硬體: 數學實驗室 – 一人一機

軟體: dm_lab2.2

3. 預習 -- 導數的定義

1. 如圖: 己知函式f: y=f(x)，a(x,y)及a』(x+△x, y+△y)是f上的兩點: 則

a的y座標ay = y = f(x) ；

a』的y座標 a』y = y+△y= f(x+△x) ；

直線aa』的斜率；

2. 當a』沿曲線向a靠攏時，△x→ 0 ；換句話說，當△x→0時:

a』點沿曲線趨向 a 點；

直線aa』趨向函式曲線f在a點上的切線；

3. 導數的定義式是: 。

4. 實驗過程

1. 曲線的斜率

作圖步驟1. 開啟dm_lab, 開啟直角座標系，作x軸，作y軸

點選「座標/直角座標系」；

點選「座標/作x軸」；

點選「座標/作y軸」；

步驟2. 作函式圖象:

在「函式作圖工具」下鍵入: fy1=>(x+4)*(x+1)*(x-3)/5+5

按[enter]鍵後即作出函式的圖象；

步驟3. 在曲線上取點a和a』

點選；再用滑鼠在函式圖象上點一下，得點a；

按著[shift]鍵，再用滑鼠在函式圖象上，a點的右方點一下，得點b；

雙擊b點，將字母b改為a』；

步驟4. 作直線aa』

用工具，用滑鼠先點一下a點，再點一下a』點，作得直線aa』。

觀察、思考與分析

設y=f(x)， a(x, y)，a』(x1, y1)在f上；

記: △x=x1-x，△y=y1-y；則 x1= x+△x ， y1 = y+△y ；

y = f(x)， y1 = f(x1)； => y+△y = f(x+△x) => △y = f(x+△x) - y = f(x+△x) - f(x) ；

直線aa』的斜率；

慢慢移動a』和a靠攏，這時對應的 △x→ 0 ；

當a』與a重合時，直線aa』與函式曲線相切，這時對應的k就是函式曲線在 a 處的斜率；

用極限來表示這一過程就是:；

根據導數的定義，這就是函式y=f(x)在 a點的導數；

結論函式y=f(x)在a點的導數就是函式在點a的切線的斜率。

函式y=f(x)的導數f』(x)的幾何意義是: f』(x)是函式y=f(x)的切線的斜率。

2. 曲線的上公升或下降

重新作圖

步驟1. 開啟dm_lab, 開啟直角座標系，作x軸，作y軸

點選「座標/直角座標系」；

點選「座標/作x軸」；

點選「座標/作y軸」；

步驟2. 作函式圖象:

在「函式作圖工具」下鍵入: fy1=>(x+4)*(x+1)*(x-3)/5+5

按[enter]鍵後即作出函式的圖象；

步驟3. 在函式圖象上取四點: a、b、c和d，分成三個區段；

用工具，在函式曲線上點一下，得a點；

按著[shift]鍵，再用滑鼠在函式曲線上，a點的右方點一下，得點b；

重複上述操作得c和d；

將a點移到左邊較低處；

將b點移到a點右方第乙個「山峰」最高處；

將c點移到b點右方第乙個「山谷」最低處；

將d點移到c點右方較高處；

步驟4. 自a、b、c、d四點向x軸作垂線，垂足分別為a1、a2、a3和a4。

用工具，點一下a，然後再點一下x軸得垂足，雙擊垂足點改名為a1；

重複上述操作，得四條垂線和四個垂足: a1、a2、a3和a4；

用工具，將四條垂線改換成虛線。

步驟5. 在函式圖象上任取一點p；

用工具，在函式曲線上點一下，得p點；

步驟6. 過p作函式曲線的切線；

用工具，點一下p點，得過p的切線；

移動p點沿曲線滑動，可見到切線隨之而變動。

觀察、思考與分析

(1) 研究函式在區間 (a1, a2) 段的單調性和導數的正負；

由觀察圖象，知函式在區間 (a1, a2) 的單調性是單調上公升；

將p移到a和b之間，這時切線方向總是由左下到右上方向；表明這時切線的斜率是正(+) ，即導數f』(x)的符號是正(+) ；

(2) 研究函式在區間 (a2, a3) 段的單調性和導數的正負；

由觀察圖象，知函式在區間 (a2, a3) 的單調性是單調下降；

將p移到b和c之間，這時切線方向總是由左上到右下方向；表明這時切線的斜率是負(-) ，即導數f』(x)的符號是負(-) ；

(3) 研究函式在區間 (a3, a4) 段的單調性和導數的正負；

由觀察圖象，知函式在區間 (a3, a4) 的單調性是單調上公升；

將p移到c和d之間，這時切線方向總是由左下到右上方向；表明這時切線的斜率是正(+) ，即導數f』(x)的符號是正(+) ；

結論函式曲線的單調性可以由函式的導數來判斷:

如果在區間(a, b)內總有f』(x)>0，則函式在區間(a, b)內是上公升的；

如果在區間(a, b)內總有f』(x)<0，則函式在區間(a, b)內是下降的；

3. 駐點

作圖步驟1. 加大作圖密度至最，重新作圖；

步驟2. 將p點小心移動到與b重合，即位於」山峰」最高處；

觀察、思考與分析

這時過b點的切線是或近似是水平的；

表明這時切線的斜率k = 0，即 f』(b) = 0；

事實上這時在b點的左邊區域，函式是上公升的，即f』(x) > 0，而在b點的右邊區域，函式是下降的，即f』(x) < 0，b點介於兩者之間，即f』(b)介於正數和負數之間，因此必有 f』(b) = 0 ；

移動p點從左到右穿越b點時，切線方向經歷由左下-右上方向到水平方向到左上-右下方向的變化。

結論在b點左右兩邊，函式的單調性是相反的，b點是函式不同單調性的分界線，在b點上有f』(b) = 0。這樣的點值得特別關注，並給以特別的稱謂，叫做「注點」。

求函式駐點的方法是: 令 f』(x) = 0，解此方程，其解即為駐點的x 座標，再將x代入函式解析式得駐點的y座標。

4. 練習

後面課程將會教授求導的方法，此處先給出結果:

令y』=0，有 3x2+4x-11=0，解此方程得: x1x2

代入函式解析式得: y1y2

∴b點座標是 bc點座標是 c

「導數的幾何意義」教學設計說明

韋輝梁2004/10

1. 實驗的前導知識

本實驗之前學生剛學習過：

1. 導數的概念和定義；

2. 根據定義式求導數；

3. 另外，之前也學習過函式概念、函式的圖象、函式的單調性等有關函式的基本性質。

2. 實驗的目標

理解導數的幾何意義，分三個層次和內容:

1. 曲線的斜率(函式)

理解曲線的切線的斜率是變化的，是x的函式；

理解曲線在某點的切線的斜率 = 函式在該點的導數；

2. 曲線的上公升或下降

理解函式在某區域的單調性與在該區域內函式的導數的正負性相關：

在區域（a,b）內若函式是單調上公升的，則在該區域內函式的導數f』(x)＞0；

在區域（a,b）內若函式是單調下降的，則在該區域內函式的導數f』(x)＜0；

3. 注點

理解「駐點」的幾何意義：

「駐點」是函式單調性變化，即從上公升轉變成下降、或從下降轉變成上公升的分界點；

「駐點」是函式導數改變符號的分界點，在駐點上 f』(x) = 0。

3. 教學方法要點

動態數學教學的要點是: 在數學實驗的動態環境中，用動的觀點、動的方法，通過操作引導學生、觀察、思考、分析進行學習，要讓學生既動手又動腦。

1. 通過在動態過程中切線的形成，理解曲線在某點的切線的斜率是x的函式，是該曲線函式在該點的導數；

2. 通過在動態過程中切線的變化，理解函式在某區域的單調性與在該區域內函式導數正負性的關係；

3. 通過觀察、思考和分析，理解「駐點」是函式單調性改變、即導數符號改變的分界點，在駐點上 f』(x)=0。

4. 考慮到課時緊迫，本節課以教師演示實驗形式進行，教學過程採取教師邊講解、邊操作，學生邊聽課、邊觀察和思考，跟著填寫實驗報告(有下橫線的空格)的方式進行。由於內容較多，學生必須事前做好預習，並閱讀實驗報告一次，課堂上集中精力於動態圖形的操作及觀察、分析和思考中。

學生自行操作練習，作為課後溫習的要求。

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