河南理工大學2023年數學建模競賽**
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題目編號：（ a）
**題目：
垃圾分類處理與清運方案
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垃圾分類處理與清運方案設計
摘要隨著大運會的開展，深圳的外觀建設和綠化都是展現深圳形象的重要措施，其中垃圾處理尤為重要，因此設計乙個良好的垃圾處理與清運方案是很重要的。
垃圾轉運站設定的乙個重要意義在於節省運費。一般用於收集小區垃圾到轉運站的車為清運車，在本題中，題目給出了深圳市南山區的垃圾轉運站的分布和轉運能力的大小，要求設計出大小櫥餘裝置的分布並且給出清運方案的具體設計。
在設計大小櫥餘裝置及其分布時，運用了最短路和最少費用作為模型通過程式的編譯求出三大部分地區中的線路長短，以十年為期限。
第一部分區域如果用大型裝置需用1臺，選擇在動物園垃圾轉運站，此時獲得純利潤為元，若用小型裝置需用815臺，此時獲得純利潤元。
對於第二部分如果用大型裝置需用3臺，選擇在南山市場垃圾中轉站，此時獲得純利潤為元，若用小型裝置需用2475臺，此時獲得純利潤為元。
對於第三部分如果用大型裝置需用1臺，選擇在望海路垃圾轉運站，此時獲得純利潤為元，若用小型裝置需用380臺，此時獲得純利潤為元。
在設計清運方案時，我們把主幹道作為考慮物件並對它進行簡化，用圖論的相關知識找到每乙個區域的可行方案，最終得到了一種可行的具體的清運方案。
第二問題依據集合覆蓋模型,確定垃圾中轉站的待選點;進而運用整數規劃構建垃圾收運系統費用最小模型,。由於垃圾轉運站被重新設計，因此各個量都是不確定的，在此建立了兩個通用的集合覆蓋模型與垃圾收運系統費用最小模型。只要帶入確定的資料，就能得到垃圾轉運站的規模、位置以及最佳經濟效益。
關鍵詞： 網格法；最短路；最短距離矩陣；c語言
一、問題重述
垃圾主要分為櫥餘垃圾，可**垃圾，有害垃圾和其他不可**垃圾；為了更好地處理垃圾，引入垃圾收集、分類且盡量對櫥餘垃圾及可**垃圾再處理的方法，這樣既美化了環境又節約了**成本，達到取得一定經濟效益的目的。
由於處理櫥餘垃圾及可**垃圾會產生經濟效益而後兩類垃圾只會消耗費用，並且行駛不同的路線去收集、運送垃圾會使車輛的耗油量不同，同時購買的大小型櫥餘垃圾處理裝置數量不同及安排位置的不同都會使經濟效益有所不同，這都涉及了最優化方案問題。
第一問是在轉運站規模與位置和深圳南山區的實際情況相同時，設計出大小型裝置的分布，並且在目前運輸裝備條件下給出清運路線的具體方案。
第二問是轉運站被重新設計，此時轉運站的規模與位置都是不確定的，再重新求上述問題。
二、問題分析
本項研究課題能為深圳市的垃圾分類化程序作出貢獻，因此具有十分重要的現實意義。
第一問中，在垃圾轉運站的規模與位置確定條件下，在南山地圖上通過用豎直線段與水平線段構成的網格，用網格來具體確定南山地區垃圾轉運站的具體位置和各個垃圾轉運站之間的路線。對於清運路線的選擇，可以把南山區分成若干小塊是每一小塊只含有乙個轉運站，從而可以將南山地區的各個垃圾轉運站之間的複雜路線進行簡化，進一步運用最近線段等效原則，將各段曲線用豎直的直線線段與水平的直線線段來進行等效，再通過對路線等效模型的分析，可以用等效的豎直線段與水平線段的長短和網格的結合來確定各個垃圾轉運站之間的距離，從而來確定具體兩個垃圾轉運站的的最短路線，通過對模型的分析，可以求出南山區各個垃圾轉運站之間的最短路線和各個垃圾轉運站之間的最短路線的長度，在裝置的規劃當中，根據南山區的所有垃圾轉運站的具體分布，認為南山區北部的垃圾通過拖車運送到南山區南部地區進行處理不符合經濟效益，因此，將南山地區的垃圾轉運站分為三部分，再通過用最短路線來對裝置進行規劃與分配。
在第二問中由於轉運站的規模與位置都是不確定的，增加了模型建立的難度。針對垃圾收運系統的特點，應用了集合覆蓋模型，確定垃圾中轉站的待選點，然後再引入整數規劃構建垃圾收運系統費用的最小模型，從待選點選出垃圾轉運站的最優組合，這樣對轉運站選址分階段進行了二次優化，避免了直接運用整數規劃的複雜運算，為垃圾轉運站選址提供一種簡單易行的方法。
三、模型假設
（1）負責從小區到轉運站運輸的車輛在每天早飯後收集垃圾;
（2）清運車輛的耗油量只與所走過的路程有關；
（3）清運車盡量走主幹道，其次是次幹道，最後才走街坊路；
（4）拖車走高速路，快速路，主幹道和次幹道，不走街坊路；
（5）垃圾處理中心在轉運站裡並且所有大小型櫥餘垃圾處理裝置使用年限為十年，使用時不發生任何故障
四、符號說明
五、模型的建立
5.1兩點之間路線長度的計算方法
由於本模型中的距離是用網格法求解的，因此，對網格法進行如下說明
如圖一所示，採用座標點表示網格，若某一點不在網格的邊線上（例如：a點,b點）該點所在的網格的左下角點的座標為，那麼記這個網格的座標為。那麼a點所在的網格的座標為，b點所在網格座標為；如果點在網格的邊線上（例如c點），那麼認為包含這條邊線的左側的網格的座標為它所在的網格的座標，那麼c點所在網格座標為。
。圖5.1 網格法計算距離舉例示意圖
為了計算方便，參照實際情況，我們可以對距離的求法作出如下簡化
對於任意兩點a，b：
（1）如果a,b不在同一網格內並且a,b都不在網格的邊線上，對於從ab的不同路線，可以把所有路線的長度都看作從a點到的直線長度加上從點到點b的直線長度，即為+。例如圖一中a,b兩點，認為它們之間的路線長為：3+2=5。
（2）如果a,b不在同一網格內或者其中一點在同一網格邊線上，對於不在邊線上的點認為它在網格的中心處，路線長度的計算與相同。例如對於圖一中的d、e距離為0.5
5.2最短路線的選取方法
如果在兩個垃圾堆放點之間有多條路線可以選取，我們結合實際情況，以在保護環境的前提下盡量使車所走路最小為原則作出如下分析：（假設下圖曲線就是選取的路線，橫豎直線構成網格）
首先在地圖上繪出水平間距相等和豎直間距相等的直線，構成網格，現假設從a點到b點有如上線路即(網格中的曲線)，將網格中的曲線運用離曲線最近的原則，用標有箭頭的連續線段來等效該曲線，要求該線段是網格中的水平線段或
圖5.2.1圖5.2.2
圖5.2.3圖5.2.4
是網格中的豎直線段，而且繪製出的等效連續直線段的所有端點均勻分布於該曲線的兩側，，將其分解為沿水平方向與豎直方向上的向量，而且上圖中的標有箭頭的線段為向量，則有：
在水平方向上從a點到b點之間的所有有向線段中，如果a與b之間存在多條曲線，其中等效有向線段中存在一條或多條水平有向線段與ab有向線段水平方向相反方向的，則那條曲線的距離長度就非ab間線路最短的，例如上圖中的與。
在豎直方向上從a點到b點之間的所有有向線段中，如果a與b點之間存在多條曲線，選取每個等效有向線段中最大豎直有向線段的模按從大到小順序排列，則其中豎直有向線段中模最大的即偏離標準ab有向線段越大，則該條曲線的距離長度也非ab間線路最短的，例如上圖中的，，。
根據上述和的分析，則在所有a與b的所有路線中，符合與的原則，可以選取從a到b之間的最**路，用上述等效路線來算出a點到b點的距離，再通過上述網格法來估測a到b的距離，通過比例尺可以算出a到b的距離。
如果在某兩個垃圾堆放點之間僅有一條路可供選擇那麼就直接選取那條路作為最短路線。
5.3清運方案的設計
5.3.1清運車清運方案的設計
例如，對於麻勘站所服務的區域我們只考慮主要的路及街道，畫出了它們的示意圖並對路口，街道口及路和街道的盡頭用字母進行編號，並且假設垃圾只存在於編號的地點。
圖5.3
在所建立的網格表上找到各點座標
；根據座標關係確定個點之間的關係進而用5.1所示方法求得各關聯點之間的距離：其中在同一格內，那麼=1; =1; =0; =2; =;d(f,o)=。
根據求得的距離及示意圖尋找清運車的可行方案：垃圾清運方案為。
最後根據可行方案計算出清運車所走的路程：路線長為： =。
經計算得到了其餘各站清運車需要走的總路程：
=6； =； =9； =14； =6； =； =24； =1545； =； =4； =； =； =14； =13； =； =9； =； =； =14； =； =6； =； =9； =17； =9； 35； =； =2； =9； =3； =10； =44； =19； =20
由於耗油量僅與路程成正比，因此，對於整個南山區的清運車有：1）
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