方案設計與決策型問題[www.*z%zstep#.~co^m]
一、選擇題
1、（山東省德州二模）今年是祖國母親60歲生日，小明、小敏、小新商量要在國慶前夕給祖國母親獻禮，決定畫5幅國畫表達大夥的愛國之情。小明說：「我來出一道數學題：
把剪5幅國畫的任務分配給3個人，每人至少1幅，有多少種分配方法?」小敏想了想說：「設各人的任務為x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。
」小新接著說：「那麼問題就成了問這個方程有幾個正整數解。」現在請你說說看：
這個方程正整數解的個數是( )
a．7個 b．6個c．5個d．3個
答案：b
2、（2012山東省德州三模）現有邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形的地磚，要求至少用兩種
不同的地磚作鑲嵌 (兩種地磚的不同拼法視為同一種組合), 則不同組合方案共有（ ）
a. 3種b. 4種c. 5種d. 6種
答案：b
3、（山東省德州二模）今年是祖國母親60歲生日，小明、小敏、小新商量要在國慶前夕給祖國母親獻禮，決定畫5幅國畫表達大夥的愛國之情。小明說：「我來出一道數學題：
把剪5幅國畫的任務分配給3個人，每人至少1幅，有多少種分配方法?」小敏想了想說：「設各人的任務為x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。
」小新接著說：「那麼問題就成了問這個方程有幾個正整數解。」現在請你說說看：
這個方程正整數解的個數是( )
a．7個 b．6個c．5個d．3個
答案：b
4、（2012山東省德州三模）現有邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形的地磚，要求至少用兩種
不同的地磚作鑲嵌 (兩種地磚的不同拼法視為同一種組合), 則不同組合方案共有（ ）
a. 3種b. 4種c. 5種d. 6種
答案：b
三、解答題
1、（2012山東省德州三模）提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的「等分積週線」．
嘗試解決：
（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出.請你幫小明在圖1中畫出這條「等分積週線」，從而平分蛋糕．
[www.*z@z&step.~c^om]
（2） 小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點c畫了一條直線cd交ab於點d．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你解決下面的問題：若ab＝bc＝5 cm，ac＝6 cm，請你找出△abc的所有「等分積週線」，並簡要的說明確定的方法．
答案：解：(1) 作線段ac的中垂線bd即可2分
(2) 小華不會成功．
若直線cd平分△abc的面積
那麼∴4分∵∴ ∴ 小華不會成功5分
（3）① 若直線經過頂點，則ac邊上的中垂線即為所求線段．……………………6分
② 若直線不過頂點，可分以下三種情況：
（a）直線與bc、ac分別交於e、f，如圖所示
過點e作eh⊥ac於點h，過點b作bg⊥ac於點g
易求，bg=4，ag=cg=3[www%.zzs@t&e~
設cf=x，則ce=8-x
由△ceh∽△cbg，可得eh=
根據面積相等，可得7分
∴（捨去，即為①）或
∴ cf=5，ce=3，直線ef即為所求直線8分
（b）直線與ab、ac分別交於m、n, 如圖所示
由 (a)可得，am=3，an=5，直線mn即為所求直線．
（仿照上面給分）
(c) 直線與ab、bc分別交於p、q，如圖所示
過點a作ay⊥bc於點y，過點p作px⊥bc於點x
由面積法可得， ay=
設bp=x，則bq=8-x
由相似，可得px=
根據面積相等，可得11分
∴ （捨去）或
而當bp時，bq=，捨去．
∴ 此種情況不存在12分
綜上所述，符合條件的直線共有三條．
（注：若直接按與兩邊相交的情況分類，也相應給分）
2、（2012山東省德州三模）提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的「等分積週線」．
嘗試解決：
（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出.請你幫小明在圖1中畫出這條「等分積週線」，從而平分蛋糕．
（2） 小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點c畫了一條直線cd交ab於點d．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你解決下面的問題：若ab＝bc＝5 cm，ac＝6 cm，請你找出△abc的所有「等分積週線」，並簡要的說明確定的方法．
答案：解：(1) 作線段ac的中垂線bd即可2分
(2) 小華不會成功．
若直線cd平分△abc的面積
那麼∴4分∵∴ ∴ 小華不會成功5分
（3）① 若直線經過頂點，則ac邊上的中垂線即為所求線段．……………………6分
② 若直線不過頂點，可分以下三種情況：
（a）直線與bc、ac分別交於e、f，如圖所示
過點e作eh⊥ac於點h，過點b作bg⊥ac於點g
易求，bg=4，ag=cg=3
設cf=x，則ce=8-x
由△ceh∽△cbg，可得eh=
根據面積相等，可得7分[中@~國&教育出#*版網]
∴（捨去，即為①）或
∴ cf=5，ce=3，直線ef即為所求直線8分
（b）直線與ab、ac分別交於m、n, 如圖所示
由 (a)可得，am=3，an=5，直線mn即為所求直線．
（仿照上面給分）
(c) 直線與ab、bc分別交於p、q，如圖所示
過點a作ay⊥bc於點y，過點p作px⊥bc於點x
由面積法可得， ay=
設bp=x，則bq=8-x
由相似，可得px=
根據面積相等，可得11分
∴（捨去）或
而當bp時，bq=，捨去．
∴ 此種情況不存在12分
綜上所述，符合條件的直線共有三條．
（注：若直接按與兩邊相交的情況分類，也相應給分）
3、（2012興仁中學一模）（12分）某公司計畫將研發的兩種新產品a和b進行精加工後再投放市場．根據資質考查，決定由甲、乙兩個工廠分別加工a、b兩種產品，兩廠同時開工，已知甲、乙兩廠每天能生產的a、b兩種產品共21件，甲廠3天生產的a種產品與乙廠4天生產的b種產品數量相同．
（1）求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？
（2）如果a種產品的出廠價為每件200元，b種產品的出廠價為每件180元．信義超市需一次性購買a、b兩種產品共100件，若信義超市按出廠價購買a、b兩種產品的費用超過19000元而不到19080元．請你通過計算，幫助信義超市設計購買方案．[w%ww.#zz@s~te^
解答：解：（1）設甲、乙兩個工廠每天分別能加工x和y件新產品，
則錯誤！未找到引用源。，
解得：錯誤！未找到引用源。．
答：甲、乙兩個工廠每天分別能加工12和9件新產品．
（2）設信義超市購買b種產品m件，購買a種產品（100﹣m）件．
根據題意，得
19000＜200（100﹣m）+180m＜19080，
46＜m＜50．[[email protected].#c^om]
∵m為整數，
∴m為47或48或49．
∴有三種購買方案：
購買a種產品53件，b種產品47件；
購買a種產品52件，b種產品48件；
購買a種產品51件，b種產品49件．
[w^ww.z&zste@p%.com*]
（1）改造一所a類學校和一所b類學校所需的資金分別是多少萬元？
（2）我市計畫今年對該縣a、b兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔。若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少於70萬元，其中地方財政投入到a、b兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元。請你通過計算求出有幾種改造方案？
[w*^ww.zzst&e~p.c#om]
（1）解：設改造一所a類和一所b類學校所需資金分別為x萬元和y萬元
由題意得4分
解得2分
答：改造一所a類學校和一所b類學校所需資金分別為60萬元和85萬元。
（2）設今年改造a類學校x所，則改造b類學校（6-x）所，
由題意得4分
解得 x取整數
x=1,2,3,4.[中~國@%*教^育出版網]
即共有四種方案2分
5．（2023年江蘇沭陽銀河學校質檢題）如圖，在直徑為ab的一塊半圓形土地上，畫出一塊三角形區域，使三角形的一邊為ab，頂點c在半圓上，其它兩邊長分別為6cm和8cm，現要建造乙個內接於△abc的矩形水池defn，其中de在ab上，如圖所示的設計方案是使ac=8cm，bc=6cm。[w~ww.zz#s^tep%
方案設計與決策型問題答案
1 答案 解 1 設甲種藥品的出廠 為每盒x元，乙種藥品的出廠 為每盒y元 則根據題意列方程組得2分 解之得4分 5 3.6 2.2 18 2.2 15.8 元 6 3 18 元 答 降價前甲 乙兩種藥品每盒的零售 分別是15.8元和18元 5分 2 設購進甲藥品x箱 x為非負整數 購進乙藥品 10...
中考數學複習專題7 方案設計型問題
方案設計型問題，是指根據問題所提供的資訊，運用學過的技能和方法，進行設計和操作，然後通過分析 計算 證明等，確定出最佳方案的一類數學問題。這類問題的應用性非常突出，題目一般較長，做題之前要認真讀題，理解題意，選擇和構造合適的數學模型，通過數學求解，最終解決問題。解答此類問題必須具有紮實的基礎知識和靈...
專題十《方案設計型試題》
中考二輪複習 專題分類 例1 常州 七 班共有50名學生，老師安排每人製作一件型或型的陶藝品，學校現有甲種製作材料36，乙種製作材料29，製作 兩種型號的陶藝品用料情況如下表 1 設製作型陶藝品件，求的取值範圍 2 請你根據學校現有材料，分別寫出七 2 班製作型和型陶藝品的件數 知識點 本題考察的是...