福建周奕生
一次函式是最基本的函式，它與一次方程、一次不等式有著密切聯絡，在實際生活、生產中有廣泛的應用，尤其是利用一次函式的增減性及其有關的知識可以為某些經濟活動中的方案設計和選擇做出最佳的決策．下面以近幾年來全國各地的中考題為例說明一次函式在方案設計中的重大作用．
一、 生產方案的設計
例1 （鎮江市）在舉國上下眾志成城，共同抗擊非典的非常時期，某醫藥器械廠接受了生產一批高質量醫用口罩的任務．要求在８天之內（含８天）生產ａ型和ｂ型兩種型號的口罩共５萬只，其中ａ型口罩不得少於1.8萬只，該廠的生產能力是：若生產ａ型口罩每天能生產0.
6萬只，若生產ｂ型口罩每天能生產0.8萬只，已知生產乙隻ａ型口罩可獲利0.5元，生產乙隻ｂ型口罩可獲利0.
3元．設該廠在這次任務中生產了ａ型口罩萬只．問：（１）該廠生產ａ型口罩可獲利潤_____萬元，生產ｂ型口罩可獲利潤_____萬元；
（２）設該廠這次生產口罩的總利潤是萬元，試寫出關於的函式關係式，並求出自變數的取值範圍；
（３）如果你是該廠廠長：
①在完成任務的前提下，你如何安排生產ａ型和ｂ型口罩的隻數，使獲得的總利潤最大？最大利潤是多少？
②若要在最短時間內完成任務，你又如何來安排生產ａ型和ｂ型口罩的隻數?最短時間是多少？
分析：（１）0.5，0.3（5－）；
（２）＝0.5＋0.3（5－）＝0.2＋1.5，
首先，1.8≤≤５，但由於生產能力的限制，不可能在８天之內全部生產ａ型口罩，假設最多用天生產ａ型，則（８－）天生產ｂ型，依題意，得0.6＋0.
8（８－）＝５，解得＝７，故最大值只能是0.6×7＝4.2，所以的取值範圍是1.
8（萬只）≤≤4.2（萬只）；
（３）要使取得最大值，由於＝0.2＋1.5是一次函式，且隨增大而增大，故當取最大值4.
2時，取最大值0.2×4.2＋1.
5＝2.32（萬元），即按排生產ａ型4.2萬只，ｂ型0.
8萬只，獲得的總利潤最大，為2.32萬元；
若要在最短時間完成任務，全部生產ｂ型所用時間最短，但要求生產ａ型1.8萬只，因此，除了生產ａ型1.8萬只外，其餘的3.
2萬只應全部改為生產ｂ型．所需最短時間為1.8÷0.6＋3.
2÷0.8＝７（天）．
二、營銷方案的設計
例２（湖北） 一報刊銷售亭從報社訂購某晚報的**是每份0.7元，銷售價是每份１元，賣不掉的報紙還可以0.20元的**退回報社．在乙個月內（以30天計算），有20天每天可賣出100份，其餘10天每天只能賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數必須相同．若以報亭每天從報社訂購的份數為自變數，每月所獲得的利潤為函式．
（１）寫出與之間的函式關係式，並指出自變數的取值範圍；
（２）報亭應該每天從報社訂購多少份報紙，才能使每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
分析：（１）由已知，得應滿足60≤≤100，因此，報亭每月向報社訂購報紙30份，銷售（20＋60×10）份，可得利潤0.3（20＋60×10）＝6＋180（元）；退回報社10（－60）份，虧本0.
5×10（－60）＝5－300（元），故所獲利潤為＝（6＋180）－（5－300）＝＋480，即＝＋480．
自變數的取值範圍是60≤≤100，且為整數．
（２）因為是的一次函式，且隨增大而增大，故當取最大值100時，最大值為100＋480＝580（元）．
三、優惠方案的設計
例３（南通市） 某果品公司急需將一批不易存放的水果從ａ市運到ｂ市銷售．現有三家運輸公司可供選擇，這三家運輸公司提供的資訊如下：
解答下列問題:
（１）若乙、丙兩家公司的包裝與裝卸及運輸的費用總和恰好是甲公司的２倍，求ａ，ｂ兩市的距離（精確到個位）；
（２）如果ａ，ｂ兩市的距離為千公尺，且這批水果在包裝與裝卸以及運輸過程中的損耗為300元／小時，那麼要使果品公司支付的總費用（包裝與裝卸費用、運輸費用及損耗三項之和）最小，應選擇哪家運輸公司？
分析：（１）設ａ，ｂ兩市的距離為千公尺，則三家運輸公司包裝與裝卸及運輸的費用分別是：甲公司為（6＋1500）元，乙公司為（8＋1000）元，丙公司為（10＋700）元，依題意，得
（8＋1000）＋（10＋700）＝２×（6＋1500），
解得＝216≈217（千公尺）；
（２）設選擇甲、乙、丙三家公司的總費用分別為，，（單位：元），則三家運輸公司包裝及運輸所需的時間分別為：甲（＋４）小時；乙（＋２）小時；丙（＋３）小時．從而
＝6＋1500＋（＋４）×300＝11＋2700，
＝8＋1000＋（＋２）×300＝14＋1600，
＝10ｓ＋700＋（＋３）×300＝13ｓ＋1600，
現在要選擇費用最少的公司，關鍵是比較，，的大小．
∵＞０，∴＞總是成立的，也就是說在乙、丙兩家公司中只能選擇丙公司；在甲和丙兩家中，究竟應選哪一家，關鍵在於比較和的大小，而與的大小與ａ，ｂ兩市的距離的大小有關，要一一進行比較．
當＞時，11＋2700＞13＋1600，解得＜550，此時表明：當兩市距離小於550千公尺時，選擇丙公司較好；
當＝時，＝550，此時表明：當兩市距離等於550千公尺時，選擇甲或丙公司都一樣；
當＜時，＞550，此時表明：當兩市的距離大於550千公尺時，選擇甲公司較好．
４．調運方案的設計
例４ ａ城有化肥200噸，ｂ城有化肥300噸，現要把化肥運往ｃ，ｄ兩農村，如果從ａ城運往ｃ，ｄ兩地運費分別是20元／噸與25元／噸，從ｂ城運往ｃ，ｄ兩地運費分別是15元／噸與22元／噸，現已知ｃ地需要220噸，ｄ地需要280噸，如果個體戶承包了這項運輸任務，請你幫他算一算，怎樣調運花錢最小?
分析：根據需求，庫存在ａ，ｂ兩城的化肥需全部運出，運輸的方案決定於從某城運往某地的噸數．也就是說．如果設從ａ城運往ｃ地噸，則餘下的運輸方案便就隨之確定，此時所需的運費（元）也只與（噸）的值有關．因此問題求解的關鍵在於建立與之間的函式關係．
解：設從ａ城運往噸到ｃ地，所需總運費為元，則ａ城餘下的（200－）噸應運往ｄ地，其次，ｃ地尚欠的（220－）噸應從ｂ城運往，即從ｂ城運往ｃ地（220－）噸，ｂ城餘下的300－（220－）＝15（220－）＋22（80＋），
即＝２＋10060，
因為隨增大而增大，故當取最小值時，的值最小．而０≤≤200，
故當＝０時，最小值＝10060（元）．
因此，運費最小的調運方案是將ａ城的200噸全部運往ｄ地，ｂ城220噸運往ｃ地，餘下的80噸運往ｄ地．
練習題：
１．(河北)某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計畫利用這兩種原料生產a，b兩種產品，共50件．已知生產一件a種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件b種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元．
(1)要求安排a，b兩種產品的生產件數，有哪幾種方案?請你設計出來；
(2)生產a，b兩種產品獲總利潤是(元)，其中一種的生產件數是，試寫出與之間的函式關係式，並利用函式的性質說明(1)中的哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?
２． 北京某廠和上海某廠同時製成電子計算機若干臺，北京廠可支援外地10臺，上海廠可支援外地4臺，現在決定給重慶8臺，漢口6臺．如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺．求：
(1)若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少臺?
(2)若要求總運費不超過8200元，共有幾種調運方案?
(3)求出總運費最低的調運方案，最低總運費是多少元?
３． 某新建商場設有百貨部、服裝部和家電部三個經營部，共有190名售貨員，計畫全商場日營業額(指每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元．由於營業性質不同，分配到三個部的售貨員的人數也就不等，根據經驗，各類商品每1萬元營業額所需售貨員人數如表1，每1萬元營業額所得利潤情況如表2．
表1表2
商場將計畫日營業額分配給三個經營部，設分配給百貨部、服裝部和家電部的營業額分別為(萬元)、(萬元)、(萬元)(, ,都是整數)．
(1) 請用含的代數式分別表示和z；
(2) 若商場預計每日的總利潤為(萬元)，且滿足，問這個商場應怎樣分配日營業額給三個經營部?各部應分別安排多少名售貨員?
４． 某校校長暑假將帶領該校市級「三好生」去北京旅遊．甲旅行社說：「如果校長買全票一張，則其餘學生可享受半價優待．」乙旅行社說：「包括校長在內，全部按全票價的6折(即按全票價的60%收費)優惠．」若全票價為240元．
(1)設學生數為，甲旅行社收費為甲，乙旅行社收費為乙，分別計算兩家旅行社的收費(建立表示式)；
(2)當學生數是多少時，兩家旅行社的收費一樣；
(3)就學生數討論哪家旅行社更優惠．
５．某童裝廠現有甲種布料38公尺，乙種布料26公尺，現計畫用這兩種布料生產l、m兩種型號的童裝共50套，已知做一套l型號的童裝需用甲種布料0.5公尺，乙種布料1公尺，可獲利45元；做一套m型號的童裝需用甲種布料0.9公尺，乙種布料0.
2公尺，可獲利潤30元．設生產l型號的童裝套數為，用這批布料生產這兩種型號的童裝所獲利潤為(元)．
(1)寫出(元)關於(套)的函式解析式；並求出自變數的取值範圍；
(2)該廠在生產這批童裝中，當l型號的童裝為多少套時，能使該廠所獲的利潤最大?最大利潤為多少?
６．下表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤．某汽車運輸公司計畫裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售(每輛汽車按規定滿載，並且每輛汽車只裝一種蔬菜)
(1)若用8輛汽車裝運乙、丙兩種蔬菜11噸到a地銷售，問裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛?
一次函式與方案設計問題
一次函式與方案設計問題 提公升訓練案 1 生產方案的設計 1 某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計畫利用這兩種原料生產a b兩種產品，共50件。已知生產一件a種產品需用甲種原料9千克 乙種原料3千克，可獲利潤700元 生產一件b種產品，需用甲種原料4千克 乙種原料10千克，可獲利潤1...
一次函式與方案設計問題
一 生產方案的設計 例1 在舉國上下眾志成城，共同抗擊非典的非常時期，某醫藥器械廠接受了生產一批高質量醫用口罩的任務 要求在 天之內 含 天 生產 型和 型兩種型號的口罩共 萬只，其中 型口罩不得少於1.8萬只，該廠的生產能力是 若生產 型口罩每天能生產0.6萬只，若生產 型口罩每天能生產0.8萬只...
《一次函式與方案設計問題》試題集
一 生產方案的設計 例1 鎮江市 在舉國上下眾志成城，共同抗擊非典的非常時期，某醫藥器械廠接受了生產一批高質量醫用口罩的任務 要求在 天之內 含 天 生產 型和 型兩種型號的口罩共 萬只，其中 型口罩不得少於1.8萬只，該廠的生產能力是 若生產 型口罩每天能生產0.6萬只，若生產 型口罩每天能生產0...