函式與導數是高中數學的核心內容，而導數已由解決問題的輔助工具上公升為解決問題的必不可少的工具，特別是利用導數來解決函式的單調性與最值問題。因此，可以利用導數作為工具研究函式的性質，從而解決相關問題。下面具體討論導數在解決與函式單調性有關的問題時的作用。
一、利用導數解決恆成立問題
恆成立問題，一般都會涉及到求引數範圍，往往把變數分離後可以轉化為m≥f（x）（或m≤f（x））恆成立，於是m大於f（x）的最大值（或m小於f（x）的最小值），從而把不等式恆成立問題轉化為函式求最值問題。因此，利用導數求函式最值是解決恆成立問題的一種重要方法。
例1：已知函式
二、利用導數證明不等式
眾所周知，函式在某個區間上的導數值大於（或小於）0時，則該函式在該區間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以建構函式，用導數證明該函式的單調性，然後再用函式單調性達到證明不等式的目的。
例2：已知：a，b∈r，b>a>e，求證：ab>ba（e為自然對數的底）。
證：要證ab>ba只需證lnab>lnba，即證：blna-alnb>0
三、用導數求函式的最值（或值域）
導數的另乙個作用是求函式的最值，因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以建構函式，用導數求出該函式的最值；由當該函式取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式成立。從而把證明不等式問題轉化為函式求最值問題。
例3：求證：n∈n*，n≥3時，2n>2n+1
證明：要證原式，即需證：2n-2n-1>0，n≥3時成立
設f（x）=2x-2x-1（x≥3），則f』（x）=2xln2-2（x≥3），
∵x≥3，∴f』（x）≥23ln3-2>0
∴f（x）在[3，+∞）上是增函式，
∴f（x）的最小值為f（3）=23-2×3-1=1>0
所以，n∈n*，n≥3時，f（n）≥f（3）>0，即n≥3時，2n-2n-1>0成立。
四、利用導數解不等式
五、導數與實際生活問題
利用導數解決實際問題的一般步驟是：①分析實際問題中各變數之間的關係，建立實際問題的數學模型，寫出實際問題中變數之間的函式關係y=f（x）；②求函式的導數f』（x），解方程f』（x）=0；③比較函式在區間端點和使f』（x）=0
例5：某城市在發展過程中，交通狀況逐漸受到有關部門的關注，據有關統計資料顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市的某一段所用的時間為y分鐘與車輛進入該路段的時間t之間的函
求從上午6點到中午12點，通過該路段用時最多的時刻。
解析：按所給出的分段函式求導:
（1）當6≤t＜9時，
當6≤t＜8時，y』＞0，8＜t＜9時，y』＜0，所以，當t=8時，ymax=18.75（分鐘）。
（2）當9≤t≤10時， 是增函式，所以，當t=10，ymax =15（分鐘）。
（3）當10＜t≤12時，y=-3（t-11）2+8。
綜上所述，上午8時，通過該路段用時最多，為18.75（分鐘）。
回顧：本例直接按分段函式求導，探求最值，然後確定從上午6點到中午12點車輛通過該路段用時最多的時刻。
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