1、 三種圓錐曲線的研究
（1）統一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：，其中f為定點，d為p到定直線的距離，f ，如圖。
因為三者有統一定義，所以，它們的一些性質，研究它們的一些方法都具有規律性。
當01時，點p軌跡是雙曲線；當e=1時，點p軌跡是拋物線。
（2）橢圓及雙曲線幾何定義：橢圓：，雙曲線。
（3）圓錐曲線的幾何性質：幾何性質是圓錐曲線內在的，固有的性質，不因為位置的改變而改變。
1 定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上
橢圓及雙曲線中：中心為兩焦點中點，兩準線關於中心對稱；橢圓及雙曲線關於長軸、短軸或實軸、虛軸成軸對稱，關於中心成中心對稱。
2 定量：
（4）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨座標改變而變）
舉焦點在x軸上的方程如下：
2、 直線和圓錐曲線位置關係
（1） 位置關係判斷：△法（△適用物件是二次方程，二次項係數不為0）。
其中直線和曲線只有乙個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；後一種情形下，消元後關於x或y方程的二次項係數為0。
直線和拋物線只有乙個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；後一種情形下，消元後關於x或y方程的二次項係數為0。
（2） 直線和圓錐曲線相交時，交點座標就是方程組的解。
當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法。
例題研究
例1、 根據下列條件，求雙曲線方程。
（1） 與雙曲線有共同漸近線，且過點（-3，）；
（2） 與雙曲線有公共焦點，且過點（，2）。
分析：（1）設雙曲線方程為（λ≠0）∴∴
∴ 雙曲線方程為
（3） 設雙曲線方程為
∴解之得：k=4
∴ 雙曲線方程為
評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為（λ≠0），當λ>0時，焦點在x軸上；當λ<0時，焦點在y軸上。與雙曲線共焦點的雙曲線為（a2+k>0，b2-k>0）。
比較上述兩種解法可知，引入適當的引數可以提高解題質量，特別是充分利用含引數方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想。
例2、設f1、f2為橢圓的兩個焦點，p為橢圓上一點，已知p、f1、f2是乙個直角三角形的三個頂點，且|pf1|>|pf2|，求的值。
解題思路分析：
當題設涉及到焦半徑這個資訊時，通常聯想到橢圓的兩個定義。
法一：當∠pf2f1=900時，由得：
，∴當∠f1pf2=900時，同理求得|pf1|=4，|pf2|=2
∴法二：當∠pf2f1=900，
∴ ∴ p（）又f2（，0）∴ |pf2|=
∴ |pf1|=2a-|pf2|=
當∠f1pf2=900，由得：
p（）。下略。
評注：由|pf1|>|pf2|的條件，直角頂點應有兩種情況，需分類討論。
例4、已知x2+y2=1，雙曲線(x-1)2-y2=1，直線同時滿足下列兩個條件：①與雙曲線交於不同兩點；②與圓相切，且切點是直線與雙曲線相交所得弦的中點。求直線方程。
分析：選擇適當的直線方程形式，把條件「 是圓的切線」「切點m是弦ab中點」翻譯為關於引數的方程組。
法一：當斜率不存在時，x=-1滿足；
當斜率存在時，設 ：y=kx+b
與⊙o相切，設切點為m，則|om|=1
∴∴ b2=k2+1 ①
由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0
當k≠±1且△>0時，設a（x1，y1），b（x2，y2），則中點m（x0，y0），
∴ y0=kx0+b=
∵ m在⊙o上
∴ x02+y02=1
∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ②
由①②得： 或
∴ ：或
評注：不管是設定何種引數，都必須將形的兩個條件（「相切」和「中點」）轉化為關於引數的方程組，所以提高閱讀能力，準確領會題意，抓住關鍵資訊是基礎而又重要的一步。
例5、a、b是拋物線y2=2px（p>0）上的兩點，且oa⊥ob，
（1） 求a、b兩點的橫座標之積和縱座標之積；
（2） 求證：直線ab過定點；
（3） 求弦ab中點p的軌跡方程；
（4） 求△aob面積的最小值；
（5） o在ab上的射影m軌跡方程。
分析： 設a（x1,y1），b（x2,y2），中點p（x0,y0）
（1） ∵ oa⊥ob
∴ koakob=-1
∴ x1x2+y1y2=0
∵ y12=2px1，y22=2px2
∴ ∵ y1≠0，y2≠0
∴ y1y2=-4p2
∴ x1x2=4p2
（2）∵ y12=2px1，y22=2px2
∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴∴
∴ 直線ab： ∴∴
∵∴∴∴ ab過定點（2p，0），設m（2p，0）
（3）設oa∶y=kx，代入y2=2px得：x=0，x=
∴ a（）
同理，以代k得b（2pk2，-2pk）∴∵
∴即y02=px0-2p2
∴ 中點m軌跡方程y2=px-2p2
（4）當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立
評注：充分利用（1）的結論。
（5）法一：設h（x3,y3），則
∴∴ ab：
即代入y2=2p得
由（1）知，y1y2=-4p2
∴整理得：x32+y32-2px3=0
∴ 點h軌跡方程為x2+y2-4x=0（去掉（0，0））
法二：∵ ∠ohm=900，又由（2）知om為定線段
∴ h在以om為直徑的圓上
∴ 點h軌跡方程為(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）
例6、設雙曲線上兩點a、b，ab中點m（1，2）
（1） 求直線ab方程；
（2）如果線段ab的垂直平分線與雙曲線交於c、d兩點，那麼a、b、c、d是否共圓，為什麼？
分析：（1） 法一：顯然ab斜率存在
設ab：y-2=k(x-1)
由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
當△>0時，設a（x1,y1），b（x2,y2）
則 ∴ k=1，滿足△>0
∴ 直線ab：y=x+1
法二：設a（x1,y1），b（x2,y2）
則 兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2
∴ ∴∴ ab：y=x+1
代入得：△>0
評注：法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件△>0是否成立。
（2）此類探索性命題通常肯定滿足條件的結論存在，然後求出該結論，並檢驗是否滿足所有條件。
本題應著重分析圓的幾何性質，以定圓心和定半徑這兩定為中心
設a、b、c、d共圓於⊙om，因ab為弦，故m在ab垂直平分線即cd上；又cd為弦，故圓心m為cd中點。因此只需證cd中點m滿足|ma|=|mb|=|mc|=|md|
由得：a（-1，0），b（3，4）
又cd方程：y=-x+3
由得：x2+6x-11=0
設c（x3,y3），d（x4,y4），cd中點m（x0,y0）
則∴ m（-3，6）
∴ |mc|=|md|=|cd|=
又|ma|=|mb|=
∴ |ma|=|mb|=|mc|=|md|
∴ a、b、c、d在以cd中點，m（-3，6）為圓心，為半徑的圓上
評注：充分分析平面圖形的幾何性質可以使解題思路更清晰，在複習中必須引起足夠重視。
圓錐曲線的知識點整理
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圓錐曲線知識點
注意 當沒有明確焦點在個座標軸上時，所求的標準方程應有兩個。雙曲線 1 軌跡定義 定義 在平面內到兩定點的距離之差的絕對值等於定長的點的軌跡是雙曲線，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距。用集合表示為 2 標準方程和性質 注意 當沒有明確焦點在個座標軸上時，所求的標準方程應有兩個。4 拋物線 1 軌跡定...
高二數學圓錐曲線拋物線知識點整理和總結
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