【圓錐曲線知識大整合】【2015獨家完整修訂版】——mhk
1、#圓錐曲線_專有名詞介紹
2、#圓錐曲線_基礎知識**
3、#圓錐曲線_萬能公式推導
4、#計算渣渣的福音_不用聯立方程的硬解公式
圓錐曲線(專有名詞介紹)
圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。
焦點--準線觀點的定義辦法（第二定義）
給定一點p，一直線l以及一非負實常數e，則到p的距離與l距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。
根據e的範圍不同，曲線也各不相同。(1) e=0，軌跡退化為點（即定點p）；(2) e=1（即到p與到l距離相同），軌跡為拋物線；（3) 01，軌跡為雙曲線。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數（即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比）稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。
過焦點、平行於準線的直線與圓錐曲線相交於兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學中又稱為正焦弦。
類似圓，與圓錐曲線交於兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦；過焦點的弦稱為焦點弦。
對於同乙個橢圓或雙曲線，有兩個「焦點－準線」的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有乙個焦點和一條準線。
圓錐曲線關於過焦點與準線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對於橢圓和雙曲線，還關於焦點連線的垂直平分線對稱
pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等於該點到相應準線的距離乘以離心率。
焦半徑：圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。
圓錐曲線左右焦點為f1、f2，其上任意一點為p(x,y），則焦半徑為(見**)
切線方程：圓錐曲線上一點p（ ， ）的切線方程：
以代替 ，以代替 ；以（x0+x)/2代替x，以（y0+y)/2代替y即橢圓：x0x/a^2+y0y/b^2=1；雙曲線：x0x/a^2-y0y/b^2=1；拋物線：
y0y=p(x0+x)
焦準距：圓錐曲線的焦點到準線的距離p，叫圓錐曲線的焦準距，或焦引數。
焦點三角形：橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形。
設f1、f2分別為橢圓或雙曲線的兩個焦點，p為橢圓或雙曲線上的一點且pf1f2能構成三角形。
若∠f1pf2=θ，則橢圓焦點三角形的面積為s= tan（θ/2）；雙曲線焦點三角形的面積為s= cot（θ/2）
通徑：圓錐曲線中，過焦點並垂直於軸的弦稱為通徑。
橢圓的定義、標準方程、圖象及幾何性質：
雙曲線的定義、標準方程、圖象及幾何性質：
拋物線的定義、標準方程、圖象及幾何性質：
一、圓錐曲線的統一定義(第二定義)：
若平面內乙個動點到乙個定點和一條定直線的距離之比等於乙個常數，則動點的軌跡為圓錐曲線。其中定點為焦點，定直線為準線，為離心率。
當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線。
1.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然後再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的座標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是__（答：）
（2）雙曲線：由,項係數的正負決定，焦點在係數為正的座標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的座標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：
（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點f，f的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的型別，而方程中的兩個引數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；
（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。
2、焦點三角形問題（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）：常利用第一定義和正弦、餘弦定理求解。
設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，
（1）在橢圓中， ①＝，且當即為短軸端點時，最大為＝；②，當即為短軸端點時，的最大值為bc；
（2）對於雙曲線的焦點三角形有：①；②。
3．你了解下列結論嗎？
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為引數，≠0）。若，焦點在x軸上，若，焦點在y軸上。
（3）中心在原點，座標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；
（4）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（5）若oa、ob是過拋物線頂點o的兩條互相垂直的弦，則直線ab恆經過定點
(6)等軸雙曲線：實軸長與虛軸長相等，即a=b, 從而離心率e=.
（7）拋物線的焦點為f，過f的焦點弦ab的傾斜角為，則.
以上述焦點弦ab為直徑的圓與其準線相切。
8.4 直線與圓錐曲線的位置關係
直線與圓錐曲線聯絡在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關係的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.
一。直線與圓錐曲線的交點：
直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法.
二。直線與圓錐曲線的位置關係：
判斷直線l與圓錐曲線r的位置關係時，通常將直線l的方程ax+by+c=0(a,b不同時為0)代入圓錐曲線的r的方程：f(x,y)=0,消去y得到乙個關於x的一元方程。
即，消去y得
(1) 當a0,則有》0，直線l與圓錐曲線相交；當=0時，直線與曲線r相切； <0時，直線r與曲線r相離。
(2) 當a=0，即得到乙個一次方程，則直線l與曲線r相交，此時，若r是雙曲線，則直線l與雙曲線r的漸近線平行；r是拋物線，則直線r與拋物線的對稱軸位置關係是：平行或重合。
注意：開放型曲線（雙曲線和拋物線）的特殊性:
①相交： 直線與橢圓(圓)相交
直線與雙曲線相交
直線與拋物線相交
②相切： 直線與橢圓(圓)相切直線與橢圓(圓)只有乙個公共點；
直線與雙曲線相切直線與雙曲線只有乙個公共點；
直線與拋物線相切直線與拋物線只有乙個公共點；
三．直線與圓錐曲線相交的弦長公式：
直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。若該弦通過了圓錐曲線的焦點，此時得到的弦也叫焦點弦。當直線的斜率存在時，
弦長當斜率k存在且非零時，.
8.5 軌跡問題
一． 座標法：借助座標系研究幾何圖形的方法叫做座標法，它解決的主要問題是：
①根據已知條件，求平面曲線的方程； ②通過曲線的方程研究平面曲線的性質。
二． 曲線與方程的概念：
一般地，在直角座標系中，如果某曲線c上的點與乙個二元方程f(x,y)=0建立了如下的關係：
（1）曲線上的點的座標都是這個方程的解——純粹性；
（2）以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點——完備性；
那麼，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
點與曲線的關係：
①若曲線c的方程是f(x,y)=0，則：點p0(x0,y0)在曲線c上f(x0,y0)=0；
點p0(x0,y0)不在曲線c上f(x0,y0)≠0
②若曲線c1，c2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則
方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點。 點p0(x0,y0)是c1，c2的交點
三． 求曲線方程(動點軌跡方程)的常用方法：
（1）直接法（直譯法）：把題中提供的等量關係直接轉換為關於x,y的方程。用此法求軌跡方程的一般步驟是：
①建立適當的座標系，設出動點的座標；②列出等量關係式；③用座標將等量關係式化為方程f(x,y)＝0; ④化簡方程; ⑤檢驗曲線完備性、純粹性（要注意一些隱含條件，若軌跡是曲線的一部分，應對方程註明x的取值範圍，或同時註明x.,y的取值範圍）。
（2）定義法：若動點的軌跡滿足常見曲線的定義，則根據定義直接求出軌跡方程。
（3）待定係數法：已知曲線的型別，如：直線、圓、圓錐曲線等，則可設出含有待定係數的方程，再根據題設中的條件，確定係數，從而求得曲線的方程。
注：求圓錐曲線方程的問題，可按照「先定形，後定式，再定量」的步驟.
定形——指的是二次曲線對稱軸的位置與焦點位置。
定式——根據「形」設方程的形式，如：當橢圓的焦點不確定在哪個座標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；如果雙曲線的漸近線為時，可設方程為.
定量——由題設中的條件求出待定係數的值，從而得到所求的曲線方程。
（4）代入法（相關點法，轉移法）動點p隨著曲線c上動點q變化而變化，可考慮此法。其關鍵是用點p的座標表示出點q的座標，再將q的座標代入曲線c的方程，從而得到點p的軌跡方程。
(5)引數法：有時求動點滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻容易發現（或經過分析發現）這個動點常常受到另乙個變數（角度，斜率，比值，截距，或時間等）的制約，即動點的座標（x,y）分別隨另乙個變數的變化而變化，我們稱這個變數為引數，建立軌跡的引數方程。如果需要得到普通方程，只要消參就可以了。
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