2007-2023年普通高等學校招生全國統一考試
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學（寧夏、 海南卷）
本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分．第卷第22題為選考題，其他題為必考題．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的
准考證號、姓名，並將條形碼貼上在指定位置上．
2．選擇題答案使用2b鉛筆填塗，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號；非選擇題答案使用0.5公釐的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字型工整，筆跡清楚．
3．請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效．
4．保持卡面清潔，不摺疊，不破損．
5．作選考題時，考生按照題目要求作答，並用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．
參考公式：
樣本資料，，，的標準差錐體體積公式
其中為樣本平均數其中為底面面積、為高
柱體體積公式球的表面積、體積公式
其中為底面面積，為高其中為球的半徑
第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，
只有一項是符合題目要求的．
1．已知命題，，則（ ）
【解析】是對的否定，故有：
答案：c
2．已知平面向量，則向量（ ）
【解析】
答案：d
3．函式在區間的簡圖是（ ）
【解析】排除ｂ、ｄ，
排除ｃ。也可由五點法作圖驗證。
答案：a
4．已知是等差數列，，其前10項和，
則其公差（ ）
【解析】
答案：d
5．如果執行右面的程式框圖，那麼輸出的（ ）
ａ．24502500
ｃ．25502652
【解析】由程式知，
答案：c
6．已知拋物線的焦點為，
點，在拋物線上，
且， 則有（ ）
【解析】由拋物線定義，
即：．答案：c
7．已知，，成等差數列，成等比數列，
則的最小值是（ ）
【解析】
答案：d
8．已知某個幾何體的三檢視如下，根據圖中
標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾
何體的體積是（ ）
【解析】如圖，
答案：b
9．若，則的值為（ ）
【解析】
答案：c
10．曲線在點處的切線與座標軸所圍三角形的面積為（ ）
【解析】曲線在點處的切線斜率為，因此切線方程為則切線與座標軸交點為所以：
答案：d
11．甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表
分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（ ）
【解析】
答案：b
12．乙個四稜錐和乙個三稜錐恰好可以拼接成乙個三稜柱.這個四稜錐的底面為正方形，
且底面邊長與各側稜長相等，這個三稜錐的底面邊長與各側稜長也都相等．設四稜錐、
三稜錐、三稜柱的高分別為，，，則（ ）
【解析】如圖，設正三稜錐的各稜長為，
則四稜錐的各稜長也為，
於是答案：b
第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題－第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題為選考題，考生根據要求做答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線
的距離為6，則該雙曲線的離心率為 ．
【解析】如圖，過雙曲線的頂點a、焦點f分別
向其漸近線作垂線，垂足分別為b、c，
則： 答案：3
14．設函式為奇函式，則 ．
【解析】
答案：-1
15．是虛數單位， ．（用的形式表示，）
【解析】
答案：16．某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去乙個工廠，每個工廠至少安排
乙個班，不同的安排方法共有種．（用數字作答）
【解析】由題意可知有乙個工廠安排2個班，另外三個工廠每廠乙個班，
共有種安排方法。
答案：240
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面
內的兩個測點與．現測得，
並在點測得塔頂的仰角為，求塔高．
【解析】在中，．
由正弦定理得．
所以．在中，
．18．（本小題滿分12分）
如圖，在三稜錐中，側面與側面
均為等邊三角形，，為中點．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】（ⅰ）證明：
由題設，鏈結，
為等腰直角三角形，
所以，且，
又為等腰三角形，故，
且，從而．
所以為直角三角形，．
又．所以平面．
（ⅱ）解法一：
取中點，鏈結，由（ⅰ）知，
得．為二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．所以二面角的余弦值為．
解法二：
以為座標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，
建立如圖的空間直角座標系．
設，則．
的中點，．
．故等於
二面角的平面角．
，所以二面角的余弦值為．
19．（本小題滿分12分）
在平面直角座標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓
有兩個不同的交點和．
（）求的取值範圍；
（）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，
使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．
【解析】（ⅰ）由已知條件，直線的方程為，
代入橢圓方程得．
整理得 ①
直線與橢圓有兩個不同的交點和等價於，
解得或．即的取值範圍為．
（ⅱ）設，則，
由方程又．③
而．所以與共線等價於，將②③代入上式，解得．
由（ⅰ）知或，故沒有符合題意的常數．
20．（本小題滿分12分）
如圖，面積為的正方形中有乙個不規則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為. 假設正方形的邊長為2，的面積為1，並向正方形中隨機投擲個點，以表示落入中的點的數目．
（）求的均值；
（）求用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區間內的概率．
附表：【解析】每個點落入中的概率均為．依題意知．
（ⅰ）．
（ⅱ）依題意所求概率為，
．21．（本小題滿分12分）
設函式（）若當時，取得極值，求的值，並討論的單調性；
（）若存在極值，求的取值範圍，並證明所有極值之和大於．
【解析】（ⅰ），依題意有，故．
從而．的定義域為，當時，；
當時，；
當時，．
從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少．
（ⅱ）的定義域為，．
方程的判別式．
（ⅰ）若，即，在的定義域內，故的極值．
（ⅱ）若，則或．
若，，．
當時，，
當時，，所以無極值．
若，，，也無極值．
（ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根
，．當時，，從而有的定義域內沒有零點，
故無極值．
當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，
由根值判別方法知在取得極值．
綜上，存在極值時，的取值範圍為．
的極值之和為
．22．請考生在三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
作答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．
22．ａ（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
如圖，已知是的切線，為切點，是
的割線，與交於兩點，圓心在
的內部，點是的中點．
（ⅰ）證明四點共圓；
（ⅱ）求的大小．
【解析】（ⅰ）證明：鏈結．
因為與相切於點，所以．
因為是的弦的中點，所以．
於是．由圓心在的內部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．
（ⅱ）解：由（ⅰ）得四點共圓，所以．
由（ⅰ）得．
由圓心在的內部，可知．
所以．22．ｂ（本小題滿分10分）選修4－4：座標系與引數方程
和的極座標方程分別為．
（ⅰ）把和的極座標方程化為直角座標方程；
（ⅱ）求經過，交點的直線的直角座標方程．
【解析】以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角座標系，
兩座標係中取相同的長度單位．
（ⅰ），，由得．所以．
即為的直角座標方程．同理為的直角座標方程．
（ⅱ）由解得．
即，交於點和．過交點的直線的直角座標方程為．
22．ｃ（本小題滿分10分）選修；不等式選講
設函式．
（）解不等式； （）求函式的最小值．
【解析】（ⅰ）令，則
3分作出函式的圖象，它與直線的交點為和．
所以的解集為．
（ⅱ）由函式的影象可知，
當時，取得最小值．
2023年普通高等學校招生全國統一考試（寧夏卷）
．參考公式：
樣本資料x1，x2， …，xn的標準參錐體體積公式
s= v=sh
其中為樣本平均數其中s為底面面積，h為高
柱體體積公式球的表面積、體積公式
v=sh
其中s為底面面積，h為高其中r為球的半徑
第ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知函式)在區間的影象如下：
那麼＝（ ）
a．1 b．2 c． d．
2．已知複數，則=（ ）
a． b． c． d．
3．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那麼它的頂角的余弦值為（ ）
a． b． c． d．
4．設等比數列的公比q=2，前n項和為sn，則=（ ）
a． b． c． d．
5．右面的程式框圖，如果輸入三個實數a，b，c，要求輸出這三
個數中最大的數，那麼在空白的判斷框中，應該填入下面四個選
項中的（ ）
a． b． c． d．
6．已知a1＞a2＞a3＞0，則使得都成立的x取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
7．（ ）
a． b． c． d．
8．平面向量a，b共線的充要條件是（ ）
a．a，b方向相同b．a，b兩向量中至少有乙個為零向量
cd．存在不全為零的實數，，
9．甲、乙、丙3位志願者安排在周一至周五的5天中參加某項志願者活動，要求每人參加一天且每天
多安排一人，並要求甲安排在另外兩位前面．不同的安排方法共有（ ）
a．20種 b．30種 c．40種 d．60種
10．由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（ ）
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