上冊高數期末複習泰勒展開證明題
1、設函式在區間上二階可導，且，，證明：，證明：對，分別取，由泰勒公式得
兩式相減得，，兩邊取絕對值
因為當時，，於是當時，.
2、 在上連續,且,求證:.
（類似1）
3、設在[0,1]上具有二階導數,且滿足條件 ,其中都是非負數,是(0,1)內任意一點,證明
（在c處展開，將a，b帶入，餘下類似1）
4、設當設時設，證明：
（類似3）
5、設函式具有
一、二階導數，，且，證明：
證明：由於，，所以存在，使得
將分別在點泰勒展開，並注意到，，兩式相加得，記 注意到，於是
，所以 ，.
6、f(x)在[0,1]上二階導數存在，且f(0)=0,f(1)=1,,證明：在(a,b)內至少存在一點，使得
證明：一方面，
另一方面，
從而有，設，所以
。7、設函式在上二階可導，，且，試證：在內至少存在一點，使得證：由題設知，存在，使得，且
將分別在處展開
兩式變形為
（1）當時，取，有；
（2）當時，取，有
8、設在上具有三階連續導數，且，試證：存在，使得證明：分別將和在處展開
兩式相減，得
由於，則在區間上有最大值和最小值
可以看出，由介值定理得，存在有
9、（2023年市賽）設函式在上具有連續的二階導數，證明：存在使得提示：將分別在處泰勒展開
10、設在上二階可導，且，則在內至少存在一點，使得證明：將分別在處展開
兩式相減，移項，同除以，並取絕對值，考慮到11、（2023年市賽）設在區間上具有二階導數，且，，證明：
證明：對及，使，於是有
，從而，於是
若對，上式都要成立，則只要
12、設在內二階可導，且，證明：對任意個不同的點有證明：取，將分別在處展開
將上式從1加到，考慮到任意個不同的點，得到，得證。
13、證明：對任意個不同的點,
提示：類似12，記
，將cosx在處展開，再將x換成，兩端相加。
14、設在區間內二階可導，且，則對任意的
（同13）
15、設函式在上，證明：
證明：取，由泰勒公式得
取得到，兩邊從到積分
考慮到，得知後一項的值為0，從而得證！
16、設，對於成立，試證：。
證明：由泰勒中值定理得
，兩邊關於從到積分得並注意到
17、設函式在上有連續的二階導數，證明：在內存在一點使。提示：把在點展開後積分即得。
18、設在上的正值函式，，證明:。
提示：把在點展開後根據二階導數大於等於0得到不等式後積分即得。
19.設函式在閉區間上不恒為零，其導數連續，且，求證：存在 ；
所以存在 。
矩陣證明題
簡單應用題能力 1 試證 設a，b，ab均為n階對稱矩陣，則ab ba 2 試證 設是n階矩陣，若 0，則 3 已知矩陣，且，試證是可逆矩陣，並求.4.設階矩陣滿足，證明是對稱矩陣.5 設a，b均為n階對稱矩陣，則ab ba也是對稱矩陣 6 設ak 0,其中a為方陣,k為大於1的某個正整數,證明 e...
幾何證明題
1 如圖,在三角形abc中,角c為90度,cd垂直ab,ae平分角bac交cd於f,交bc於g,fg平行於ab交bc於g,求證ce bg 證明 過e做eh ab交ab於h ae是 cab的平分線 ec ac ec eh 角平分線上的點到角的兩邊距離相等 ac bc，cd ab acd b ae是 c...
證明題專題
1.9分 如圖，是對角線上的兩點，且.求證 1 2 2 如圖，已知四邊形abcd是梯形，ad bc，a 90 bc bd，ce bd，垂足為e 1 求證 abd ecb 2 若 dbc 50 求 dce的度數 3 如圖，已知點 段上，請在下列四個等式中，ab de，acb f，a d，ac df 選...