南京師範大學數科院肖雲霞
摘要：對於不等式的證明題，可以從多種角度去看待，運用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙進行證明，證明的方法多種多樣，下面就兩個證明題的多種證明方法進行**。
關鍵詞：排序不等式;柯西;均值;證明;多種方法
知識背景：
⑴ 排序不等式：
設有兩組數；； 滿足，，其中是的任一排列，則有
即同序和≥亂序和≥逆序和；當且僅當或時，等號成立，即同序和=亂序和=逆序和。
⑵ 柯西不等式：
設有兩組數；； 有不等式當且僅當時，等號成立。
（3）均值不等式：
設﹥0； (調和平均);（幾何平均）；（算術平均）；（平方平均）； 有
當且僅當時，等號成立。
1. 已知a,b,c>0,求證：.
解決此題有多種方法：
方法一：（析：可以運用排序不等式求解）
解：不妨設a≥b≥c>0,則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②，
③④③+④得到：≥=1+1+1=3，則， 得證。
方法二 （析：運用柯西不等式證明）
解： ≥①，
又 =2
=;則≥3將②、③代入①得到
得證。方法三： ( 分析： 拼湊法)
解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ; 則有 ； 代入
①得： +3≥[×3×]×[3則有得證.
2. 已知a,b,c>0,求證：
方法一： （分析，運用排序不等式證明）
解： 不妨設a≥b≥c>0,則 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分別取倒數有 ②，則有
③④③+④得到 ⑤
又由柯西不等式：即有，得到
⑥，同理有將⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ：≥==a+b+c
則有： 得證。
方法二： （分析運用柯西不等式）
解 ≥
則有≥， 化簡得:≥= 得證
方法三： （平均不等式求解）
解①+②+③得到 ≥a+b+c
化簡得 ≥（a+b+c）—= 得證。
方法四： （ 拼湊法 ）
解 ==
= ①
由1題知： 代入 ① 得
≥ 化簡得
得證。方法五： 巧用排序不等式
不妨設a≥b≥c>0, 則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②； 又有 ③；
④⑤④+⑤ 得到=
= ；化簡得到得證。
巧用反證法證明不等式
反證法是根據 正難則反 的原理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應用，而且在代數中也經常出現。用反證法證明不等式就是最好的應用。要證明不等式a b，先假設a b，然後根據題設及不等式的性質，推出矛盾，從而否定假設。...
巧用反證法證明不等式
正難則反，巧用反證法證明不等式 反證法是根據 正難則反 的原理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應用，而且在代數中也經常出現。用反證法證明不等式就是最好的應用。要證明不等式a b，先假設a b，然後根據題設及不等式...
巧用函式的單調性證明不等式
在證明不等式中，通過聯想建構函式，將常量作為變數的瞬時狀態置於建構函式的單調區間內，利用其單調性證明一些不等式十分便捷，以下舉例說明。例1 已知。求證 分析 直接求證非常困難，觀察條件及所證結論不難發現a b c是對稱的，變形所證不等式為。建構函式，只需證恆成立。例2 已知a b。分析 應用比較法 ...