巧用反證法證明不等式

正難則反，巧用反證法證明不等式

反證法是根據「正難則反」的原理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應用，而且在代數中也經常出現。用反證法證明不等式就是最好的應用。

要證明不等式a＞b，先假設a≤b，然後根據題設及不等式的性質，推出矛盾，從而否定假設。要證明的不等式中含有「至多」、「至少」、「均是」、「不都」、「任何」、「唯一」等特徵字眼，若正面難以找到解題的突破口，可轉換視角，用反證法往往立見奇效。

例1. 設a，b，c，d均為正數，求證：下列三個不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有乙個不正確。

證明：假設不等式①、②、③都成立，因為a，b，c，d都是正數，所以由不等式①、②得，。

由不等式③得，

因為，所以

綜合不等式②，得，即

由不等式④，得，即，顯然矛盾。

∴不等式①、②、③中至少有乙個不正確。

例2. 已知求證：。

證明：由知≠0，假設，則

又因為，所以，即

從而，與已知矛盾。

∴假設不成立，從而

同理，可證。

例3. 若，求證：。

證明：假設，則，即。

因為所以

故又，，即

∴，即，不成立。

故假設不成立，即。

例4. 設a，b，c均為小於1的正數，求證：，不能同時大於。

證明：假設同時大於，即，，。

則由，可得

同理，，

三個同向不等式兩邊分別相加，得，所以假設不成立。

∴原結論成立。

例5. 若，，，求證：，不能同時大於1。

證明：由題意知

假設有那麼

同理，①＋②＋③，得矛盾，假設不成立。

故，，不能同時大於1。