110917初三基礎班數學講義--- 證明二
［教學過程］
一. 在《證明一》一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，今天我們應用以前已經被證明的定理和下面的公理來證明有關三角形的一些結論。
公理：三邊對應相等的兩個三角形全等。（sss）
公理：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。（sas）
公理：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。（asa）
公理：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
用上面的公理證明下面的推論：
推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）
二. 例題分析：
例1. 等腰三角形的底角為15°，腰長2a，求腰上的高。
如圖所示，在△abc中，已知ab=ac=2a，∠abc=∠acb=15°，cd是腰ab上的高，求cd的長。
例2. 已知：矩形abcd，對角線ac，bd相交於點o，∠aob=60°，你能由此驗證「rt△中30°角所對的直角邊是斜邊的一半」這一定理嗎？
三. 1. 等腰三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等。（簡稱為「等邊對等角」）
（2）等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合（等腰三角形的「三線合一」）
（3）等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°。
2. 你能利用我們學過的公理和定理證明這些結論嗎？
四. 例1. 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。
已知：如圖所示，△abc中，ab=ac，bd、ce分別平分∠abc和∠acb
求證：bd=ce 練習
1. 房梁的一部分如圖所示，其中bc⊥ac，∠a=30°，ab=7.4m，點d是ab的中點，且，垂足為e，求ac，de的長。
二.線段垂直平分線
1. 定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
2. 練習：
（1）已知：ab是線段cd的垂直平分線，e在ab上，若ec＝7cm，則ed若∠ecd＝60°，則∠def
（2）△abc中，ac＝27，ab的垂直平分線交ab於點d，交ac於點e，
△bce的周長等於50。求：bc長。
定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
三. 角平分線性質定理：
角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
逆定理：
在乙個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
例題：如圖，在△abc中，ac＝bc，∠c＝90°，
ad是△abc的角平分線，de⊥ab，垂足為e。
（1）已知cd＝4cm，求ac的長。
（2）求證：ab＝ac＋cd。
作業與練習
1. ad、ae分別為△abc中∠a的內角、外角平分線，它們有什麼關係？
2. 求作一點p，使pc＝pd，且點p到∠aob兩邊的距離相等。
5. 已知：p是∠aob平分線上的一點，pd⊥ob，pc⊥oa，
垂足分別為c、d。
求證：（1）oc＝od；
2）op是cd的垂直平分線。
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