1.已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．
（1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；
（2）求－＋－＋…＋－的值．
解答：（1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．
於是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．
（2）ak＝c，k＝1，2，3，…，2n，
首先考慮＋＝＋＝
＝＝，則＝ (＋)，因此－＝ (－)．
故＝ (－)＝ (－1)＝－．
2.已知是給定的某個正整數，數列滿足：，其中．
（i）設，求；
（ii）求．
（ⅰ）由得，
即，；，
3分 （ⅱ）由得：，
即，，…，，
以上各式相乘得 5分∴
， 7分
∴ 10分
1.已知
（1）若，求證是奇數；
（2）求證對於任意，都存在正整數，使得．
2.已知為整數且，，其中， ，求證：對一切正整數，均為整數．
證明：構造的對偶式，下面用數學歸納法證明更強的結論：，都是整數．
（1）當時，由知，則，，於是，都是整數；
（2）假設當時，、都是整數，則當時，
．同理可得，．由（1）、（2）知、都是整數．
3.已知多項式.
(ⅰ)求及的值；
(ⅱ)試探求對一切整數n，是否一定是整數？並證明你的結論．
(ⅰ) 0, 16. …1分
(ⅱ) 對一切整數n，一定是整數.
（1）先用數學歸納法證明：對一切正整數n，是整數.
①當n=1時，,結論成立.
②假設當n=k（k≥1，k∈n）時，結論成立，即是整數，則當n=k+1時，
=根據假設是整數，而顯然是整數.∴是整數，從而噹噹n=k+1時，結論也成立.由①、②可知對對一切正整數n，是整數. ……7分
（2）當n=0時，是整數.……8分
(3)當n為負整數時，令n= -m，則m是正整數，由（1）是整數，
所以=是整數.綜上，對一切整數n，一定是整數.……10分
4. 已知數列滿足：.
（ⅰ）求證：使；
（ⅱ）求的末位數字.
解：⑴當
假設當則當時，
…其中….
所以所以；
（2），故的末位數字是7.
1.設p1，p2，…，pj為集合p＝的子集，其中i，j為正整數．記aij為滿足p1∩p2∩…∩pj＝ 的有序子集組(p1，p2，…，pj)的個數．
（1）求a22的值；
（2）求aij的表示式．
解答：（1）由題意得p1，p2為集合p＝的子集，
因為p1∩p2＝ ，
所以集合p＝中的元素「1」共有如下3種情形：
1 p1，且1 p2；1 p1，且1 p2；1 p1，且1 p2；
同理可得集合p＝中的元素「2」也有3種情形，
根據分步乘法原理得，a22＝3×3＝9
（2）考慮p＝中的元素「1」，有如下情形：
1不屬於p1，p2，…，pj中的任何乙個，共c種；
1只屬於p1，p2，…，pj中的某乙個，共c種；
1只屬於p1，p2，…，pj中的某兩個，共c種；
1只屬於p1，p2，…，pj中的某(j－1)個，共c種，
根據分類加法原理得，元素「1」共有c＋c＋c＋…＋c＝2－1種情形，
同理可得，集合p＝中其它任一元素均有(2－1)種情形，
根據分步乘法原理得，aij＝(2－1)i．
2．乙個非空集合中的各個元素之和是3的倍數，則稱該集合為「好集」．記集合 的子集中所有「好集」的個數為f(n)．
（1）求f(1)，f(2)的值；
（2）求f(n)的表示式．
解：(1)易得f(1)=3；
當n=2時，集合的子集中是「好集」的有：單元集：，共2個，雙元集，，，，共5個，三元集有：，，，，，，，共8個，四元集有，，，，共五個，五元集，共2個，還有乙個全集．
故f(2)＝1+(2+5)×2+8＝23．
(2)首先考慮f(n+1)與f(n)的關係．
集合在集合中加入3個元素3n+1，3n+2，3n+3．故f(n+1)的組成有以下幾部分：①原還的f(n)個集合；②含有元素3n+1的「好集」是中各元素之和被3除餘2的集合，含有元素是3n+2的「好集」是中各元素之和被3除餘1的集合，含有元素是3n+,3的「好集」是中各元素之和被3除餘0的集合，合計是23n；③含有元素是3n+1與3n+2的「好集」是中各元素之和被3除餘0的集合，含有元素是3n+2與3n+3的「好集」是中各元素之和被3除餘1的集合，含有元素是3n+1與3n+3的「好集」是中各元素之和被3除餘2的集合，合計是23n；④含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的「好集」是中「好集」與它的並，再加上。所以，f(n+1)＝2 f(n)+2×23n+1
兩邊同除以2n+1，得－＝4n+，
所以 ＝4n-1+4n-2+…+4+++…++＝+1－，
3. 已知整數≥4,集合的所有3個元素的子集記為.
(1)當時,求集合中所有元素之和.
(2)設為中的最小元素,設=,試求.
（1）解：當時，含元素1的子集有個，同理含的子集也各有6個,
於是所求元素之和為……5分
（2）證明:不難得到，並且以1為最小元素的子集有個，以2為最小元素的子集有個，以3為最小元素的子集有，…，以為最小元素的子集有個,
則8分……10分
4.設a，b均為非空集合，且ab，ab，…， (3，)．記a，
b中元素的個數分別為a，b，所有滿足「ab，且b」的集合對(a，b)的個數為．
（1）求a3，a4的值；
（2）求．
解：（1）當3時，ab，且ab，
若a1，b2，則1，2，共種；
若a2，b1，則2，1，共種，
所以a3； …… 2分
當4時，ab，且ab，
若a1，b3，則1，3，共種；
若a2，b2，則2，2，這與ab矛盾；
若a3，b1，則3，1，共種，
所以a4． … 4分
（2）當為偶數時，ab，且ab，
若a1，b，則1， ，共（考慮）種；
若a2，b，則2， ，共（考慮）種；
若a，b，則， ，共（考慮）種；
若a，b，則， ，這與ab矛盾；
若a，b，則， ，共（考慮）種；
…… 若a，b，則，1，共（考慮）種，
所以an……； … 8分
當為奇數時，同理得，an…，
綜上得， 10分
5.設整數3，集合p，a，b是p的兩個非空子集．記an為所有滿足a中的最大數小於b中的最小數的集合對(a，b)的個數．
（1）求a3；
（2）求an．
（1）當3時，p，
其非空子集為：，，，，，，，
則所有滿足題意的集合對(a，b)為：(，)，(，)，(，)，
(，），（，)共5對，所以a3
（2）設a中的最大數為k，其中,整數3，
則a中必含元素k，另元素1，2，…，k可在a中，故a的個數為：
b中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在b中，但不能
都不在b中，故b的個數為：，
從而集合對(a，b)的個數為，
所以an．
6.設且，集合的所有個元素的子集記為．
（1）求集合中所有元素之和；
（2）記為中最小元素與最大元素之和，求的值．
（1）因為含元素的子集有個，同理含的子集也各有個，於是所求元素之和為
（2）集合的所有個元素的子集中：
以為最小元素的子集有個，以為最大元素的子集有個；
以為最小元素的子集有個，以為最大元素的子集有個；
以為最小元素的子集有個，以為最大元素的子集有個．
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