1．3．2「楊輝三角」與二項式係數的性質
高二數學組張艷娜2023年4月29日星期二總第課時
一、教材分析
課時分配：1課時
【課程標準】要求：
【考試說明】要求：
二、學情分析：
三、設計說明：
四、教學目標：
五、教學重、難點：
六、教學準備：指導學生複習，多**
第一課時
一、複習引入：
1．二項式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二項展開式的通項公式：
3．求常數項、有理項和係數最大的項時，要根據通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數及項數的整數性
二、講解新課：
1二項式係數表（楊輝三角）
展開式的二項式係數，當依次取…時，二項式係數表，表中每行兩端都是，除以外的每乙個數都等於它肩上兩個數的和
2．二項式係數的性質：
展開式的二項式係數是，，，…，．可以看成以為自變數的函式
定義域是，例當時，其圖象是個孤立的點（如圖）
（1）對稱性．與首末兩端「等距離」的兩個二項式係數相等（∵）．
直線是圖象的對稱軸．
（2）增減性與最大值．∵，
∴相對於的增減情況由決定，，
當時，二項式係數逐漸增大．由對稱性知它的後半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；
當是偶數時，中間一項取得最大值；當是奇數時，中間兩項，取得最大值．
（3）各二項式係數和：
∵，令，則
三、講解範例：
例1．在的展開式中，奇數項的二項式係數的和等於偶數項的二項式係數的和
證明：在展開式中，令，則，
即，∴，
即在的展開式中，奇數項的二項式係數的和等於偶數項的二項式係數的和．
說明：由性質（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）當時，，展開式右邊為
∴，當時，，∴，
（2）令
令， ②
①② 得：，∴ .
（3）由展開式知：均為負，均為正，
∴由（2）中①+② 得：，
∴， ∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的係數
解： =，
∴原式中實為這分子中的，則所求係數為
第二課時
例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的係數
解：∵∴在(x+1)5展開式中，常數項為1，含x的項為，
在(2+x)5展開式中，常數項為25=32，含x的項為
∴展開式中含x的項為，
∴此展開式中x的係數為240
例5.已知的展開式中，第五項與第三項的二項式係數之比為14；3，求展開式的常數項
解：依題意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10
設第r+1項為常數項，又
令，此所求常數項為180
例6． 設，
當時，求的值
解：令得：，∴，
點評：對於，令即可得各項係數的和的值；令即，可得奇數項係數和與偶數項和的關係
例7．求證：．
證（法一）倒序相加：設 ①
又∵ ②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左邊各組合數的通項為，∴．
例8．在的展開式中,求:
①二項式係數的和;
②各項係數的和;
③奇數項的二項式係數和與偶數項的二項式係數和;
④奇數項係數和與偶數項係數和;
⑤的奇次項係數和與的偶次項係數和.
分析:因為二項式係數特指組合數,故在①,③中只需求組合數的和,而與二項式中的係數無關.
解：設(*),
各項係數和即為,奇數項係數和為,偶數項係數和為,的奇次項係數和為,的偶次項係數和.
由於(*)是恒等式,故可用「賦值法」求出相關的係數和.
①二項式係數和為.
②令,各項係數和為.
③奇數項的二項式係數和為,
偶數項的二項式係數和為.
④設,令,得到…(1),
令, (或,)得…(2)
(1)+(2)得,
∴奇數項的係數和為;
(1)-(2)得,
∴偶數項的係數和為.
⑤的奇次項係數和為;
的偶次項係數和為.
點評:要把「二項式係數的和」與「各項係數和」,「奇(偶)數項係數和與奇(偶)次項係數和」嚴格地區別開來,「賦值法」是求係數和的常規方法之一.
第三課時
例9．已知的展開式的係數和比的展開式的係數和大992,求的展開式中:①二項式係數最大的項;②係數的絕對值最大的項.
解：由題意,解得.
①的展開式中第6項的二項式係數最大,
即.②設第項的係數的絕對值最大,
則∴,得,即
∴,∴,故係數的絕對值最大的是第4項
例10．已知：的展開式中，各項係數和比它的二項式係數和大．
（1）求展開式中二項式係數最大的項；（2）求展開式中係數最大的項
解：令，則展開式中各項係數和為，
又展開式中二項式係數和為，
∴，．（1）∵，展開式共項，二項式係數最大的項為第
三、四兩項，
∴，，（2）設展開式中第項係數最大，則，
∴，∴，
即展開式中第項係數最大，．
例11．已知，
求證：當為偶數時，能被整除
分析：由二項式定理的逆用化簡，再把變形，化為含有因數的多項式
∵，∴，∵為偶數，∴設（），
∴當=時，顯然能被整除，
當時，（）式能被整除，
所以，當為偶數時，能被整除
三、課堂練習：
1．展開式中的係數為 ，各項係數之和為 ．
2．多項式（）的展開式中，的係數為
3．若二項式（）的展開式中含有常數項，則的最小值為（ ）
a.4b.5c.6d.8
4．某企業欲實現在今後10年內年產值翻一番的目標，那麼該企業年產值的年平均增長率最低應 （ ）
a.低於5b.在5％～6％之間
c.在6％～8％之間 d.在8％以上
5．在的展開式中，奇數項之和為，偶數項之和為，則等於（ ）
a.0 bc. d.
6．求和：．
7．求證：當且時，．
8．求的展開式中係數最大的項
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. b 4. c 5. d 6.
7. (略) 8.
四、小結 ：二項式定理體現了二項式的正整數冪的展開式的指數、項數、二項式係數等方面的內在聯絡，涉及到二項展開式中的項和係數的綜合問題，只需運用通項公式和二項式係數的性質對條件進行逐個節破，對於與組合數有關的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時注意二項式定理的逆用
1．已知展開式中的各項係數的和等於的展開式的常數項，而展開式的係數的最大的項等於，求的值答案：
2．設求：① ②．答案：①； ②
3．求值：．答案：
4．設，試求的展開式中：
（1）所有項的係數和；（2）所有偶次項的係數和及所有奇次項的係數和
答案：（1）；
（2）所有偶次項的係數和為；所有奇次項的係數和為
七、教學反思：
二項展開式中的二項式係數都是一些特殊的組合數，它有三條性質，要理解和掌握好，同時要注意「係數」與「二項式係數」的區別，不能混淆，只有二項式係數最大的才是中間項，而係數最大的不一定是中間項，尤其要理解和掌握「取特值」法，它是解決有關二項展開式係數的問題的重要手段。
二項式定理概念的引入，我們已經學過(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那麼對一般情況；(a+b)n展開後應有什麼規律，這裡n∈n，這就是我們這節課「二項式定理」要研究的內容.
選擇實驗歸納的研究方式，對(a+b)n一般形式的研究與求數列的通項公式有些類似，大家想想，求an時我們用了什麼方法，學生：先寫出前n項，再觀察規律，猜測其表示式，最後用數學歸納法證明，老師：大家說得很正確，現在我們用同樣的方式來研究(a+b)4的展開，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我們可以用(a+b)3展開的結論計算(a+b)4(由學生板演完成，體會計算規律)然後老師把計算過程總結為如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
對計算的化算：對(a+b)n展開式中的項，字母指數的變化規律是十分明顯的，大家能說出它們的規律嗎？學生：
a的指數從n逐次降到0，b的指數從0逐次公升到n，老師：大家說的很對，這樣一來展開式的項數就是從0到n的(n+1) 項了，但唯獨係數規律還是「猶抱琵琶半遮面」使我們難以發現，但我們仍可用來表示，它這樣一來(a+b)n的展開形式就可寫成(a+b)n=現在的問題就是要找的表達形式.為此我們要採用抽象分析法來化簡計算
1．（2023年江蘇卷）若對於任意實數，有，則的值為（b）
abcd．
2．（2023年湖北卷）如果的展開式中含有非零常數項，則正整數n的最小值為(b)
a.3b.5c.6d.10
【分析】：，
，（）。.
3．（2023年江西卷）已知展開式中，各項係數的和與其各項二項式係數的和之比為，則等於（ c ）
4．（2023年全國卷i）的展開式中，常數項為，則（ d ）
a． b． c． d．
5．（2023年全國卷ⅱ）的展開式中常數項為 ．（用數字作答）
6．（2023年天津卷）若的二項展開式中的係數為，則 2 （用數字作答）．
7．（2023年重慶卷）若展開式的二項式係數之和為64，則展開式的常數項為（ b ）
a10 b.20 c.30 d.120
8．（2023年安徽卷）若(2x3+)a的展開式中含有常數項,則最小的正整數n等於 7 .
9．（2023年湖南卷）將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖1所示的0-1三角數表．從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第次全行的數都為1的是第行；第61行中1的個數是 32 ．
楊輝三角與二項式係數的性質導學案
1.3.2 楊輝三角 與二項式係數的性質 學習目標 1.結合 楊輝三角 體會二項式係數的性質。2.會求二項展開式中二項式係數最大的項 3.會對的賦值解決和的問題 學習重 難點 重點 體會用函式知識研究問題的方法，理解二項式係數的性質。難點 二項式係數的性質及其應用。學習過程 一 複習 二項式定理的公...
二項式定理 版塊五 二項式定理的應用2證明不等式 學生版
1 二項式定理 二項式定理 這個公式表示的定理叫做二項式定理 二項式係數 二項式的通項 叫做的二項展開式，其中的係數叫做二項式係數，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項 二項式展開式的各項冪指數 二項式的展開式項數為項，各項的冪指數狀況是 各項的次數都等於二項式的冪指數 字母的按...
2019屆高三數學二項式定理
16.5二項式定理 1 教學目標初步掌握二項式定理及相關概念 公式。教學重點與難點 二項式定理。二項式定理的理解。教學方法溫故知新，啟發式講授法，講練結合法。教學流程 教學過程 一 複習提問 1.什麼叫多項式？分別叫幾項式？2.二 引入課題 我們知道是三項式，是二項式.對於二項式，如，它的乘方有特殊...