數學建模競賽
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日期： 2013 年 8 月 28 日
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葡萄酒的評價
摘要葡萄酒是用新鮮的葡萄或葡萄汁經發酵釀成的酒精飲料,通常分紅葡萄酒和白葡萄酒兩種。本**的主要研究方向是釀酒葡萄與葡萄酒之間的關係。
對於問題一，通過建立t檢驗模型，得出兩組評酒員的評價結果存在顯著性差異，通過比較兩組評酒員對葡萄酒評分的方差大小，可確定第二組的評價結果更可靠。
對於問題二，根據問題一求出的各葡萄酒樣品的質量評分以及釀酒葡萄的各項理化指標，通過spss軟體，運用主成分分析法得出決定葡萄酒質量的主要指標，再根據各項主要指標的相關係數，建立釀酒葡萄的綜合得分模型，得出各葡萄樣品的綜合得分。以0.5分為為乙個級別，對葡萄樣品進行分級。
對於問題三，通過建立典型相關分析模型，運用spss軟體，依次求出葡萄酒理化指標，釀酒葡萄理化指標，葡萄酒和釀酒葡萄理化指標之間對應的相關係數，由此得到對應的函式式，分析出釀酒葡萄和葡萄酒之間存在聯絡，白藜蘆醇是典型變數。
對於問題四，對釀酒葡萄的理化指標，和葡萄酒的理化指標分別作線性擬合回歸，因變數為葡萄酒的質量，第一問已經給出，用spss軟體做線性擬合得出結果，對擬合結果進行分析，得出釀酒葡萄和葡萄酒的理化指針對葡萄酒質量的影響，並以此論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質量。
關鍵詞：t檢驗； 主成分分析； 典型相關分析； 線性擬合；
一、問題重述
1.問題背景
確定葡萄酒質量時一般是通過聘請一批有資質的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嚐後對其分類指標打分，然後求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質量有直接的關係，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質量。
附件1給出了某一年份一些葡萄酒的評價結果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分資料。
2.問題提出
1. 分析附件1中兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異，哪一組結果更可信？
2. 根據釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質量對這些釀酒葡萄進行分級。
3. 分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯絡。
4．分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指針對葡萄酒質量的影響，並論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質量？
二、問題分析
1.問題一
要想知道附件1中兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異，需先求出每組評酒員對每種樣品酒的總評分（總評分用10個評酒員對每種樣品酒的評分之和的平均數來表示），將兩組評酒員對每種樣品酒的總評分做差，用t檢驗方法進行分析即可得結果。
2.問題二
題目要求根據釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質量對釀酒葡萄進行分級，因此可將葡萄酒的質量作為釀酒葡萄的一項理化指標，各葡萄酒質量的好壞可由問題一求出。因為釀酒葡萄的理化指標較多，變數太多會增加計算量和增加分析問題的複雜性，而主成分分析法可以將變數進行降維，即將多個指標變為少數幾個綜合的指標，所以用主成分分析的方法，選出少數重要指標，用spss軟體進行分析求解。
3.問題三
分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯絡，這是多個變數與多個變數之間的聯絡，對此，可用典型分析的方法，依次求出葡萄酒理化指標，釀酒葡萄理化指標，葡萄酒和釀酒葡萄理化指標之間對應的相關係數，由此得到對應的函式式，以此分析兩個之間指標之間的聯絡。
4.問題四
對釀酒葡萄的理化指標，和葡萄酒的理化指標分別作線性擬合回歸，因變數為葡萄酒的質量，第一問已經給出，用spss軟體做線性擬合得出結果，對擬合結果進行分析。
三、模型假設
1．假設兩組評酒員對葡萄酒的得分服從正態分佈。
2．假設各評酒員的評分沒有明顯失誤。
3．假設釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標真實可靠。
四、變數說明
：樣本均值
：樣本方差
：樣本個數
：第個主成分
：第個主成分的方差
：每種釀酒葡萄的綜合得分
（個別變數會在模型求解中加以說明）
五、模型的建立與求解
5.1 問題一
5.1.1模型建立
本題中樣本較少，而t檢驗適用於小樣本分析，因此用t檢驗來判斷附件1中兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異。分別用，表示第一組、第二組評酒員對第種樣品酒的總評分，令，則各之間相互獨立。又因為各是由同意因素引起的，可認為它們服從同一分布。
現假設，，則構成正態總體的乙個樣本，其中未知，現基於該樣本檢驗假設：
， 建立以下模型：
式5.1-1
其中分別為的樣本均值和樣本方差的觀察值，的取值為0.05。
5.1.2模型求解
（1）分析兩組評酒員對紅葡萄酒的評價有無顯著性差異。
先分別求出第一組10名評酒員對第種紅酒樣品的總評分，對其求平均得第種紅酒樣品的評分為，。
同理求出第二組評酒員對第種紅酒樣品的評分，。
具體資料如下表
表1 紅葡萄酒樣品評分表
根據表中資料可求得
，, ,且
將代入式5.1-1得
又經查表得
因此拒絕，認為兩組評酒員對紅葡萄酒的評價有顯著性差異。
（2）分析兩組評酒員對白葡萄酒的評價有無顯著性差異。
同第一問，先分別求出第一組第種白酒樣品的評分為，。
同理求出第二組評酒員對第種白酒樣品的評分，。
具體資料如下表
表2 白葡萄酒樣品評分表
根據表中資料可求得
，, ,且
將代入式5.1-1得
又經查表得
所以所以拒絕，認為兩組評酒員對白葡萄酒的評價有顯著性差異。
由表1中資料可求得第一組、第二組評酒員對紅酒樣品的評分的方差分別為，，，所以第二組的評價結果更可信。
由表2中資料可求得第一組、第二組評酒員對白酒樣品的評分的方差分別為，，，所以第二組的評價結果更可信。
綜上可知，兩組評酒員的評價結果有顯著性差異，第二組評酒員的評價結果更可信。
5.2 問題二
5.2.1 模型建立
用主成分分析法將釀酒葡萄的多個理化指標進行降維，降到個綜合指標，每個綜合指標表示乙個主成分。設為第個主成分，則有主成分模型如下：
其中為矩陣的特徵向量，是原始變數經過標準化處理的值。
對每個主成分求方差，只取方差大於一的主成分，其方差用表示，因此可建立每種釀酒葡萄的綜合得分模型如下：
5.2-1）
根據每種釀酒葡萄的最終綜合得分，對其進行排序分級。
5.2.2 模型求解
首先對測量多次的指標取平均，將其平均值作為釀酒葡萄的理化指標，將所有理化指標匯入spss，對這些理化指標進行降維、因子分析後得到各個變數兩兩相關係數大小的方陣、共同度以及總方差矩陣和主成分載荷矩陣，紅、白釀酒葡萄主成分的方差矩陣如以下兩表所示：
表3 紅釀酒葡萄主成分的方差矩陣
數學建模葡萄酒評價模型
a題葡萄酒的評價 針對問題一，在對兩組評酒員的評價是否存在顯著性差異的問題中，首先用擬合檢驗法驗證了兩組評酒員的評價結果都服從正態分佈，並對兩組評酒員的評價結果進行了f檢驗和t檢驗，發現兩組評酒員對於紅葡萄酒和白葡萄酒的評價結果均存在顯著性差異，通過方差分析法處理，發現第二組評酒員的評分方差更小，故...
2019數學建模A題及思路葡萄酒的評價
2012高教社杯全國大學生數學建模競賽題目 請先閱讀 全國大學生數學建模競賽 格式規範 a題葡萄酒的評價 確定葡萄酒質量時一般是通過聘請一批有資質的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嚐後對其分類指標打分，然後求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質量有直接的關係，...
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