一、主幹知識梳理
二、綜合創新應用
例1、如圖所示，在△abc中，ab=ac，d是bc的中點，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f．
求證：de=df．
證明：鏈結ad，
在△abd和△acd中，
∴△abd≌△acd，
∴∠1=∠2．
又∵de⊥ab，df⊥ac，
∴de=df．
例2、如圖，已知在rt△abc中，∠acb=90°，ac=bc，d是ab的中點，e、f分別在ac、bc上，且ed⊥fd．求證：．
分析：由d點為ab的中點可知△acd，△bcd的面積都等於△abc的面積的一半．因此可採用割補法證明．
證明：鏈結cd．
∵在rt△abc中，
∠acb=90°，ac=bc，d為ab的中點，
∴△acd≌△bcd
∴∠adc=∠bdc
且∠a＝∠b＝45°
又∵∠adc＋∠bdc＝180°
∴∠adc=∠bdc=90°
∴∠bcd＝90°－∠b＝45°＝∠b
∴∠acd＝90°－∠a＝45°＝∠a
∴ad=bd=cd，
又∵ed⊥fd，∴∠edc＋∠cdf=90°
∵∠ade＋∠edc=90°
∴∠ade=∠cdf．
在△ade和△cdf中，
∴△ade≌△cdf
∴s△ade=s△cdf
同理可證：s△cde=s△bdf
∴．例3、如下圖，a**段de上，△aec≌△bda.
（1）若∠aec=90°，則∠bac也等於90°嗎？為什麼？
（2）若ec=1，ea∶ad=3∶1，求ed的長度.
解：（1）∠bac=90°.理由如下：
∵△aec≌△bda，
∴∠1=∠3.
又∵∠cad=∠2＋∠3=∠1＋∠e，
∴∠2=∠e.
又∵∠e=90°，∴∠2=90°，
∴ac⊥ab.
（2）∵aec≌△bda，
∴ec=ad.
又∵ec=1，∴ad=1.
又∵ea∶ad=3∶1，
∴ed=4ad=4.
例4、如圖，等腰△abc與等腰△dec共點於c，且∠bca=∠ecd，鏈結be、ad，若bc=ac，ec=dc，求證：be=ad，若將等腰△dec繞點c旋轉至圖（2）、（3）、（4）情況時，其餘條件不變，be與ad還相等嗎？為什麼？
分析： 先結合圖形（1）證明結論be=ad成立，是運用邊角邊公理證明的，比較（2）、（3）、（4）和（1）的關係，圖形的位置變了，仔細觀察，什麼變了，什麼沒變，可以發現△edc繞c旋轉過程中，雖然∠bce和∠acd的大小變了，但它們總是相等的，所以△bce≌△acd，從而結論成立.
證明：如圖（1）∵∠acb=∠ecd，
∴∠acb－∠ace=∠ecd－∠ace，
即∠bce=∠acd
在△bce和△acd中
bc=ac，∠bce=∠acd，ec=dc
∴△bce≌△acd（sas）
∴be=ad
將△edc繞點c旋轉至（2）、（3）、（4）三種情況時，be=ad，
我們選擇（4）證明之：∵∠bca=∠ecd
∴∠bca＋∠ace=∠ecd＋∠ace
即∠bce=∠acd
在△bce和△acd中
∴△bce≌△acd（sas），∴be=ad
例5、已知：如圖，在rt△abc中，ab=ac，∠bac=90°，∠1=∠2，ce⊥bd的延長線於e.
求證：bd=2ce.
證明：延長ba、ce交於點f.
∵∠3=90°，∴∠5＋∠f=90°
又∵be⊥ce，∴∠4=90°，∠7=90°
∴∠1＋∠f=90°，∠6=180°－90°=90°
∴∠1=∠5
在△abd和△acf中
∴△abd≌△acf
∴bd=fc
在△bef和△bec中
∴△bef≌△bec
∴ef=ec
∴fc=2ec
∴bd=2ec
例6、已知：如圖所示，ad為△abc的高，e為ac上一點，be交ad於f，且有bf=ac，fd=cd.（1）求證：
be⊥ac；（2）若把條件bf=ac和結論be⊥ac互換，那麼這個命題成立嗎？
（1）證明：因為ad⊥bc（已知），所以∠bda=∠adc=90°（垂直定義），∠1＋∠2=90°（直角三角形兩銳角互餘）.
在rt△bdf和rt△adc中，
所以rt△bdf≌rt△adc（hl）.
所以∠2=∠c（全等三角形的對應角相等）.
因為∠1＋∠2=90°（已證），所以∠1＋∠c=90°.
因為∠1＋∠c＋∠bec=180°（三角形內角和等於180°），
所以∠bec=90°.
所以be⊥ac（垂直定義）；
（2）證明：命題成立，因為be⊥ac，ad⊥bc，
所以∠bdf=∠adc=90°（垂直定義）.
所以∠1＋∠c=90°，∠dac＋∠c=90°.
所以∠1=∠dac（同角的餘角相等）.
在△bfd與△acd中，
所以△bfd≌△acd（aas）.所以bf=ac（全等三角形的對應邊相等）.
例7、在△abc中，請證明：
（1）若ad為角平分線，則
（2）設d是bc上一點，連線ad，若，則ad為角平分線．
分析：如圖，
（1）由三角形的面積及底邊聯想到作三角形的高，作de⊥ab於e，作df⊥ac於f，則de=df，即結論①成立；②由①結合△abd與△acd是共高三角形，即可得到結論．
（2）逆用上述的思路即可證明結論成立．
證明：（1）①如圖，過d作de⊥ab於e，作df⊥ac於f．
∵ad為角平分線，∴de=df
∴．②如圖，過a作ah⊥bc於h，
則s△abd=bd·ah，
s△acd=cd·ah，
∴結合①有
（2）作de⊥ab於e，df⊥ac於f．
∵．∴de︰df=1，即de=df
∴ad為△abc的角平分線．
例8、（2004·福州）三月三，放風箏，如圖是小明製作的風箏，他根據de=df，eh=fh，不用度量，就知道∠deh=∠dfh．請你用所學知識給予證明．
分析：證明∠deh=∠dfh，實質上就是證明兩個三角形全等，根據sss則不難證明△deh≌△dfh．
證明：連線dh，在△deh與△dfh中
∴△deh≌△dfh
∴∠deh=∠dfh
例9、如圖是城市部分街道示意圖，ab=bc=ca，cd=ce=de，∠acb=∠dce=60°，a、b、c、d、e、f、g、h為「公汽停靠點」，甲公汽從a站出發．按照a、h、g、d、e、c、f的順序到達f站，乙公汽從b站出發，沿b、f、h、e、d、c、g的順序到達g站，如果甲、乙兩公汽分別從a、b站出發，在各站耽誤的時間相同，兩車的速度也一樣，試問哪一輛公汽先到達指定站？為什麼？
解：∵∠1＋∠2＋∠3=180°，∠1=∠2=60°，
∴∠3=60°，
∴∠acd=∠bce=120°．
在△acd和△bce中
∴△acd≌△bce，
∴ad=be，∠5=∠4．
在△acg和△bcf中
∴△acg≌△bcf，
∴cg=cf．
又∵甲公汽行駛的路程為：ad＋de＋ec＋cf，
乙公汽行駛的路程為：be＋ed＋cd＋cg，ec=cd，
∴ad＋de＋ec＋cf= be＋ed＋cd＋cg，
∴甲、乙兩公汽行駛的路程相等，而甲、乙兩公汽的行駛速度也一樣，故甲、乙兩公汽同時到達指定站．
全等三角形小結
一 知識再現 的兩個三角形全等 全等三角形的對應邊 對應角 證明全等三角形的基本思路 1 已知兩邊 2 已知一邊一角 3 已知兩角 3 質疑 1 角平分線的性質為 用法 qd qe 2 角平分線的判定為 用法 點q在 aob的平分線上 二 強化訓練 1 下列條件能判斷 abc和 def全等的是 a ...
全等三角形與全等三角形的判定
典型例題 例1 如圖，oa oc，ob od，則圖中有多少對全等三角形。例1例2 解析 ab cd ad bc 同理 圖中有4對全等三角形 例2 如圖，已知在中，ab ac，de經過點a，且，若ce 3，bd 1，求ed。解又 又 bd ed 在與 ae bd ad ce 而 例3 如圖，pa pb...
全等三角形複習
一 命題與證明 1 命題 判斷乙個事件正確或錯誤的句子叫命題。正確的命題叫錯誤的命題叫要說明乙個命題是假命題，只要舉出反例即可 要說明乙個命題是真命題，則需要進行推理論證，即證明。命題分 和兩部分。2 互逆命題 兩個命題中，如果第乙個命題的題設是第二個命題的結論，而第乙個命題結論是第 二個命題的題設...