2006高考創新題剖析及2007高考複習建議
四川省樂至縣吳仲良中學毛仕理 641500 (0832)3358610
縱覽2023年全國各地高考數學試卷,眾多高考創新題無論是形式的設計，還是內容的講究，都會給人面目一新之感．
一、2006高考創新題剖析
1．選擇題
例1(2006上海) 如圖，平面中兩條直線和相交於點o，對於平面上任意一點m，若、分別是m到直線和的距離，則稱有序非負實數對（，）是點m的「距離座標」．已知常數≥0，≥0，給出下列命題：
①若＝＝0，則「距離座標」為（0，0）的點
有且僅有1個；
②若＝0，且＋≠0，則「距離座標」為
（，）的點有且僅有2個；
③若≠0，則「距離座標」為（，）的點
有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是
（a）0； （b）1； （c）2； （d）3．
思路分析: ①當＝＝0時，則點m只能落在直線和相交於點o處,命題正確.
②當＝0，且＋≠0時，例如＝0, 0,則點m只能落在直線上,故只有兩個點.
③若≠0時，點m可能落在直線和外,且到直線和的的距離分別是、,這樣的點共有4個. 故選擇答案d.
點評本題主要考查學生的閱讀理解能力．在③中，學生易把點m只能在l上或2上兩種情況誤認為p=o和q=o時各有兩種情況，從而共有四種情況．
例2(2006遼寧) 設是r上的乙個運算,a是r的非空子集,若對任意,有,則稱a對運算封閉,下列數集對加法、減法、乘法和除法(除數不等於零)四則運算都封閉的是
(a)自然數集 (b)整數集 (c)有理數集 (d)無理數集
思路分析: a中1－2＝－1不是自然數，即自然數集不滿足條件；b中12＝0.5不是整數，即整數集不滿足條件；c中有理數集滿足條件；d中不是無理數，即無理數集不滿足條件，故選擇答案c.
點評本題考查了閱讀和理解能力，同時考查了做選擇題的一般技巧排除法.是對學生接受新事物能力的考查，抓住運算後仍在a中是該題的突破口，亦是解決該題的方法．本題考查學生分析、解決問題的能力，易錯點是抓不住本質而無法判斷．
例3(2006廣東)對於任意的兩個實數對和，規定：，當且僅當；運算「」為：；運算「」為：，設，若，則
a. b. c. d.
思路分析:由得,
所以,故選b.
點評本題考查了學生分析問題、解決問題的能力及運算能力，同時考查了學生對新知識接受能力和整體把握加以運用的能力，是較高層次的要求．
例4(2006江西)某地一年的氣溫q（t）（單位：c）與時間t（月份）之間的關係如圖（1）所示，已知該年的平均氣溫為10c，令g（t）表示時間段[0,t]的平均氣溫，g（t）與t之間的函式關係用下列圖象表示，則正確的應該是
思路分析：由於平均氣溫為10℃，故可排除d．由於題圖給出的關係可以得6月份時接近為零，且平均值逐漸增大，故排除c．又6月份以後先增加後下降，故應有起伏，但總均值為10．故先增後降，故選a
點評本題考查了學生觀察分析影象、利用影象關係加以判斷的能力．需考生有較高的分析能力和識圖能力．同時要求學生具有一定的影象知識，易錯點：分析不到位而錯選．
例5（2006福建）對於直角座標平面內的任意兩點a(x1,y1),b(x2,y2)，定義它們之間的一種「距離」：||ab||=|x2x1|+|y2y1|.給出下列三個命題：
①若點c**段ab上，則||ac||+||cb||=||ab||；
②在△abc中，若∠c=900，則||ac||2+||cb||2=||ab||2；
③在△abc中，||ac||+||cb||>||ab||。
其中真命題的個數為
（a）0 （b）1 （c）2 （d）3
思路分析:對於①不妨設c(x,y)如下圖所示，這種「距離」||ab||=|am|+|mb|。
由於點c**段ab上，所以根據題目中「距離」的定義有：
||ac||+||cb||=(|ae|+|ec|)+(|cf|+|fb|)=(|ae|+|cf|)+(|ec|+|fb|)=|am|+|mb|=||ab||
所以①為真命題；
對於②將上圖2的m換成c，於是可得：||ac||2+||cb||2=|ac|2+|cb|2，
而||ab||2=(|ac|+|cb|)2=|ac|2+|cb|2+2|ac||cb|，顯然此事||ac||2+||cb||2||ab||2，
所以②為假命題；
對於③同樣將上圖2的m換成c，||ac||+||cb||=|ac|+|cb|=||ab||，
所以③為假命題。
從而正確答案應選（b）。
點評新定義的「距離」頗具新意，但是新的這個「距離」實際就是兩點橫座標之差的絕對值與這兩點縱座標之差的絕對值的和。由此將題目中的資料全部構造在乙個熟悉的直角三角形中，以此為橋梁，對①②③逐一判斷，即可得出正確答案。需注意的是「細心」二字的分量.
例6（2006四川）從0到9這10個數字中任意取3個數字組成乙個沒有重複數字的三位數,這個數不能被3整除的概率為（ ）
（abcd）
思路分析:將這10個數字按被3除所得的餘數分成三個集合a=,b=,c=,
所以能被3整除的分以下四種情況：
①三個數都從a中取,共有個數能被3整除;
②三個數都從b中取,共有個數能被3整除;
③三個數都從c中取,共有個數能被3整除;
④分別從a、b、c中各取乙個數,共有個數能被3整除.
所以所有能被3整除的數共有228個，而從0到9這10個數字中任意取3個數組成的三位數共有個,所以能被3整除的概率為,
於是這個數不能被3整除的概率為,正確答案應選(b).
點評與大學教材《初等數論》的「同餘」緊密聯絡，進一步可引申：將這所有整數按被k(kz)除所得的餘數可分成k個不同的集合。本題的關鍵是對這些數字分成三個不同集合,要找出這個分類的標準,這就得利用這個簡單的「同餘」了.
2．填空題
例1．（2006上海）三個同學對問題「關於x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恆成立,求實數a的取值範圍」提出各自的解題思路．
甲說：「只須不等式左邊的最小值不小於右邊的最大值」．
乙說：「把不等式變形為左邊含變數x的函式,右邊僅含常數,求函式的最值」．
丙說：「把不等式兩邊看成關於x的函式,作出函式影象」．
參考上述解題思路,你認為他們所討論的問題的正確結論,即a的取值範圍是
思路分析:採用乙說的思路.∵x∈[1,12],∴原題等價於x++|x2－5x|≥a在[1,12]上恆成立.
下面求函式y=x++|x2－5x|的最小值.
∵x+≥10(當且僅當x=5∈[1,12]時,取最小值10)
且∵|x2－5x|≥0(當且僅當x=5時,取最小值0),
∴當且僅當x=5時,函式y=x++|x2－5x|取最小值10.
從而原題所求a的取值範圍是(－∞,10].
點評在傳統的求引數的取值範圍的基礎上糅合三位同學的說法，貼近生活，既考查了明辨是非的能力，也為該題本身降低了難度。知道為什麼不採用另外兩條思路嗎？就甲說的而言,能否在x取同一值時取得最值值得討論；就丙說的而言,要準確無誤作出函式y=x2＋25＋|x3－5x2|的影象比較困難；只有乙說的是常規思路,但如果觀察不出x+與|x2－5x|在同一處取得最小值這一細節,求解過程也會很複雜.
例2(2006四川)非空集合g關於運算㈩滿足:⑴對於任意a,b∈g,都有a㈩b∈g;⑵存在c∈g,使得對一切a∈g,都有a㈩c=c㈩a=a,則稱g關於運算㈩為「融洽集」.現給出下列集合和運算:
①g=,㈩為整數的加法;
②g=,㈩為整數的乘法;
③g=,㈩平面向量的加法;
④g=,㈩為多項式的加法;
⑤g=,㈩為複數的乘法.
其中關於g的運算㈩為「融洽集」的是
思路分析:對於①任意兩個非負數的和仍是非負數,又存在e=0∈g=,使得對一切a∈g=,都有a㈩e=a+0=0+a=e㈩a=a,所以此時g關於運算㈩為「融洽集」;
對於②雖然任意兩個偶數的乘積仍為偶數,但是在偶數集合中不存在e,使得a×e= e×a=a.所以此時g關於運算㈩不為「融洽集」;對於③顯然任意兩個平面向量的和仍是平面向量,又存在e=∈g=,使得對一切a∈g=,都有a㈩e=a+=+a=e㈩a=a,所以此時g關於運算㈩為「融洽集」;對於④若a=2x2+2x+2∈g=,b=－2x2－2x－2∈g=,則a㈩b=2x2+2x+2+(－2x2－2x－2)=0g=,所以此時g關於運算㈩不為「融洽集」;對於⑤若a=i∈g=,b=－i∈g=,則a㈩b=i+(－i)=0g=,所以此時g關於運算㈩不為「融洽集」;所以應填①③
點評:此題以集合為載體,通過新定義「融洽集」,解決這型別題目時,心情平和是很重要的,對於每個小題,採用把這裡的運算㈩換成每個小題給出的運算,逐個驗證就可得出正確答案.從這個題可以看出,對於常見的集合中的特殊元素,我們應該引起足夠的重視.
例3 (2006湖北)將楊輝三角中的每乙個數都換成分數，就得到乙個如右圖所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中=_______.
令，則=_______.
思路分析:本題考查考生的模擬歸納及推理能力，第一問對比楊輝三角的性質通過觀察、模擬、歸納可知萊布尼茨三角形中每一行中的任一數都等於其「腳下」兩數的和，故此時，第二問實質上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數第三項的和，即根據第一問所推出的結論只需在原式基礎上增加一項，則由每一行中的任一數都等於其「腳下」兩數的和，結合給出的數表可逐次向上求和為，故，從而.所以應填,.
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