【知識歸納和總結】
1、知識網路
二、知識要點分布
1.二次函式的定義：形如的函式叫二次函式。任何乙個二次函式的表示式都可以化為的形式，這就是二次函式的一般形式。
2.二次函式表示式的幾種形式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
3.二次函式表示式的形式及對稱軸、頂點座標。
（1）一般式：，其對稱軸為直線，頂點座標為。
（2）頂點式：，其對稱軸為直線，頂點座標為。
（3）交點式：，其中是拋物線與x軸兩個交點的橫座標，即一元二次方程的兩個根。
4.二次函式影象之間的平移關係
5、二次函式的影象與性質：
6.二次函式與一元二次方程的關係：（1）拋物線與x軸的交點和一元二次方程根的情況的關係：
當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸只有乙個交點；當時，一元二次方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點。（2）利用二次函式的圖形求一元二次方程的近似解。
7.利用二次函式解決集合圖形面積的最值問題及利潤的最大問題。
三、專題總結
1、二次函式的影象和性質：二次函式的影象是一條拋物線，其性質主要討論拋物線的開口方向、對稱軸、頂點座標、、增減性及最大值或最小值等。
2、二次函式的應用：利用二次函式解決最大利潤、最大面積等最優問題。
3、二次函式與一元二次方程的關係：二次函式的影象與x軸的交點與一元二次方程的根之間的關係；利用二次函式的影象求一元二次方程的近似解。
【方法能力的整合】
1. 待定係數法：通過待定係數法可以求得二次函式的表示式。
2. 代入法：通過代入法可以求出自變數的值對應的函式值或函式值對應的自變數的值；也可以由點的座標判斷點是否在影象上或由影象上點的座標求其解析式中的字母係數。
3. 配方法：二次函式，利用配方法可配成的形式，從而求出拋物線的頂點座標及函式y的最值。
4. 數形結合思想：在解決二次函式和對應的方程有關問題時，常常結合函式的影象分析。
5. 轉化思想：實際問題通過建模轉化為數形問題；拋物線與x軸的交點問題，轉化為研究相應的一元二次方程的根與係數的關係或判別式；拋物線中的線段的長度可以轉化為點的座標來求得；反過來，點的座標可以通過求線段的長度來解決。
6. 數學建模思想：在解決一些實際問題時，建立與之相關的數學模型。例如，一些實際應用題是比較抽象、不易理解的，通過與二次函式相聯絡，畫出影象，抽象的問題變得形象而具體了。
7. 拋物線的平移與解析式的變化。
拋物線上最重要的點是它的頂點，最重要的線是它的對稱軸，拋物線的平移首先表現為對稱軸和頂點的平移。在拋物線中，令易得對稱軸為直線，拋物線向右（左）平移則對稱軸也向右（左）平移，h的值將隨之增大（減小），反之也成立；拋物線上（下）平移，對稱軸不會改變，即頂點的橫座標h的值不變，但頂點的縱座標k的值將隨之增大（減小），反之也成立。拋物線的平移不會改變拋物線的形狀，即不變。
在拋物線中研究平移是很不方便的，要先將的形式轉化成再研究。
拋物線平移的題型一般有以下幾種：
（1） 已知拋物線的解析式，求平移後拋物線的解析式。
例1 將拋物線先向左平移2個單位，再向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為
（2） 已知平移後拋物線是解析式，求原拋物線的解析式。
例2 將拋物線先向左平移5個單位，再向下平移4個單位後所得拋物線為，則原拋物線的解析式為
（3） 已知平移前後拋物線的解析式，求平移的方式。
例3 將拋物線經過怎樣的平移，可得拋物線？
8、影象共存問題的解法
解決此類問題的關鍵是分析兩函式的解析式有什麼共同的特點，從這些特點入手，在利用拋物線的頂點位置和開口方向、雙曲線所在象限、直線所在象限加以判斷，決定取捨。
例函式與函式在同一直角座標系中的影象大致為（ ）
abcd、
9、拋物線的對稱性的妙用。
二次函式的影象是一條拋物線，其具有軸對稱性。若設拋物線上兩個對稱點的座標為、，則一定有，且該拋物線的對稱軸為直線，利用它可以簡便、快捷地解決相關問題。
例：二次函式的部分對應值如下表：
二次函式的圖形的對稱軸為直線xx=2對應的函式值y
【典型例題分析】
題型一利用影象求二次函式的增減性
例1 已知二次函式。
（1） 試確定拋物線的開口方向、頂點座標和對稱軸；
（2） x為何值時，y有最大（小）值？
（3） 求出拋物線與兩座標軸的交點；
（4） 畫出函式圖形的草圖，並說明該影象是經過怎樣的平移得到的；
（5） 根據影象回答，當x取何值時，y>0？y=0？y<0？
（6） 根據圖形回答，當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x去何值時，y隨x的增大而減小？
題型二判斷點是否在拋物線上
例2 已知二次函式的圖形經過點、、，且與x軸交於a、b兩點。
（1） 試確定此二次函式的解析式；
（2） 判斷點p（-2,3）是否在這個二次函式的影象上？如果在，請求出△pab的面積；如果不在，試說明理由。
題型三二次函式與幾何知識的綜合應用
例3 如圖所示，某場地為一直角三角形，已知∠c=90°，ac=6 m，bc=12 m，現在要對四邊形abpq進行裝修，裝修費為50元/，且四邊形abpq的邊aq為pc的一半，問怎樣設計四邊形abpq才能使裝修費最少？
例4 如圖所示，二次函式的圖形與x軸交於兩點，且與y軸交於點c，求該拋物線的解析式，並判斷△abc的形狀。
題型四二次函式與其他函式的綜合應用
例5 二次函式的影象如圖所示，反比例函式與正比例函式在同一座標系中的大致影象可能是（ ）
ab、c、 d、
題型五二次函式在生活、生產中的應用
例6 王亮同學善於改進學習方法，他發現對解題過程進行回顧反思，效果會更好。某一天他利用30分鐘時間進行自主學習。假設他用於解題的時間x（單位：
分鐘）與學習收益量y的關係如圖甲所示，用於回顧反思的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關係如圖乙所示（其中oa是拋物線的一部分，a為拋物線的頂點），且用於回顧反思的時間不超過用於解題的時間。
（1） 求王亮解題的學習收益量y與用於解題的時間x的函式解析式，並寫出自變數x的取值範圍；
（2） 求王亮回顧反思的學習收益量y與用於回顧反思的時間x之間的函式解析式；
（3） 王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？（學習收益總量=解題的學習收益量+回顧反思的學習收益量）
例7 甲車在彎路做剎車試驗，收集到的資料如下表所示：
（1） 請用上表中的各對資料（x，y）作為點的座標，在如圖所示的座標系中畫出剎車距離y（m）與速度x（）的函式影象，並求函式的解析式；
（2） 在乙個限速為40的彎路上，甲、乙兩車相向而行，同時剎車，但還是相撞了，事後測得甲、乙兩車剎車距離分別為12m和10.5m，又知乙車剎車距離y（m）與速度x（km/h）滿足函式，請你就兩車速度方面分析相撞原因。
題型六二次函式與圖形變換相結合
例8 如圖所示，在矩形abcd中，bc=cm，ab=b cm，，且是方程的兩個根。p是bc上一動點，動點q在pc或其延長線上，bp=pq，以pq為一邊的正方形為pqrs。點p從b點開始沿射線bc方向運動。
設bp=x cm，正方形pqrs與矩形abcd重疊部分的面積為y。
（1） 求的值；
（2） 分別求出和時，y與x之間的函式關係式。
二次函式單元試題
一 選擇題二次函式單元測試 1 下列各式中，y是x的二次函式的是 a xy x2 1 b x2 y 2 0 c yd y2 4x 3 2 下列關於二次函式y x2圖象的說法 圖象是一條拋物線 開口向下 對稱軸是y軸 頂點 0，0 其中正確的有 a 1個b 2個c 3個d 4個 3 拋物線y x 2 ...
二次函式單元測評 學生
1 選擇題 每題3分，共30分 1.下列關係式中，屬於二次函式的是 x為自變數 a.b.c.d.2.函式y x2 2x 3的圖象的頂點座標是 a.1，4 b.1，2 c.1，2 d.0，3 3.拋物線y 2 x 3 2的頂點在 a.第一象限 b.第二象限 c.x軸上 d.y軸上 2 4.拋物線的對稱...
二次函式》單元檢測卷
2014年雅中九數第七周訓練題 二次函式 單元檢測卷 2 1015 教師寄語 沒出息的人總是抱怨別人，有出息的人總是鞭策自己。一 選擇題 本大題共10小題，每小題3分，共30分 1 下列函式中，不是二次函式的是 a y 1 x2 b y 2 x 1 2 4 c.x 1 x 4 d y x 2 2 x...