三角函式專題輔導
課程安排
製作者：程國輝
專題輔導一
三角函式的基本性質及解題思路
課時：4-5學時
學習目標：
1. 掌握常用公式的變換。
2. 明確一般三角函式化簡求值的思路。
第一部分三角函式公式
1、兩角和與差的三角函式：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ
2、倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)
3、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
4、同角三角函式的基本關係式：
（1）平方關係：
（2）倒數關係：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數關係：
第二部分：三角函式的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路：
一角二名三結構
首先觀察角與角之間的關係，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函式變換的核心！第二看函式名稱之間的關係，通常「切化弦」；第三觀察代數式的結構特點。
基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，，，，等）。
如：1、已知，，那麼的值是_____///
2、，且，，求///
3、已知為銳角，，，則與的函式關係為______///
(2)三角函式名互化(切割化弦)，如
1、求值///1
2、已知，求的值///
(3)公式變形使用（。如
1、a、b為銳角，且滿足，則＝_____///
2、，，， ____三角形///等邊
(4)三角函式次數的降公升(降冪公式：，與公升冪公式：，)。如
1、若，化簡為_____///
2、遞增區間＿＿＿＿＿＿
(5)式子結構的轉化(對角、函式名、式子結構化同)。如
1、 ///
2、求證：；
3、化簡： ///
(6)常值變換主要指「1」的變換（
等）。如已知，求 （答：）
(7)正余弦「三兄妹—」的記憶體聯絡――「知一求二」。如
1、若，則 __
（答：)，特別提醒：這裡；
2、若，求的值。 ///
3、已知，試用表示的值///
（8）、輔助角公式中輔助角的確定： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。如
（1）若方程有實數解，則的取值範圍是2,2]
（2）當函式取得最大值時，的值是______///
（3）如果是奇函式，則= ///－2
專題輔導二
三角函式的影象性質及解題思路
課時：10課時
學習目標：
1會求三角函式的定義域
2會求三角函式的值域
3會求三角函式的週期 ：定義法，公式法，影象法。如與的週期是.
4會判斷三角函式奇偶性
5會求三角函式單調區間
6對函式的要求
（1）五點法作簡圖
（2）會寫變為的步驟
（3）會求的解析式
（4）知道，的簡單性質
7知道三角函式影象的對稱中心，對稱軸
8能解決以三角函式為模型的應用問題
（一） 、知識要點梳理
1、正弦函式和余弦函式的圖象：正弦函式和余弦函式圖象的作圖方法：五點法：先取橫座標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連線起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在乙個週期內的圖象。
2、正弦函式、余弦函式的性質：
（1）定義域：都是r。
（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值－1。如
（1）若函式的最大值為，最小值為，則__，＿
或）；（2）函式（）的值域是1, 2]
（3）若，則的最大值和最小值分別是7，－5
（4）函式的最小值是_____，此時
（答：2；）；
（5）己知，求的變化範圍///
（6），求的最值///，）
特別提醒：在解含有正余弦函式的問題時，你深入挖掘正余弦函式的有界性了嗎？
3、正弦、余弦、正切函式的影象和性質
4、週期性：①，的最小正週期都是2；
②和的最小正週期都是。
如(1)若，則＝___///—1/2
(2) 函式的最小正週期為____///
(3) 設函式，若對任意都有成立，則的最小值為____///2
5、奇偶性與對稱性：
(1)正弦函式是奇函式，對稱中心是，對稱軸是直線；
(2)余弦函式是偶函式，對稱中心是，對稱軸是直線；（正(餘)弦型函式的對稱軸為過最高點或最低點且垂直於軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。如
（1）函式的奇偶性是______、
（答：偶函式）；
（2）已知函式為常數），且，則______
（答：－5）；
（3）函式的圖象的對稱中心和對稱軸分別是
（答：、）；
（4）已知為偶函式，求的值。
（答：）
6、單調性：
上單調遞增，在單調遞減；
在上單調遞減，在上單調遞增。特別提醒，別忘了！
7、 三角形中的有關公式：
(1)內角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函式問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半形總互餘.
銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大於第三邊的平方.
(2)正弦定理： (r為三角形外接圓的半徑).
注意：①正弦定理的一些變式已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.
(3)餘弦定理：等，常選用餘弦定理鑑定三角形的形狀.
(4)面積公式：（其中為三角形內切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。
特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關係的問題時，常運用正弦定理、餘弦定理實現邊角互化。
如（1）中，a、b的對邊分別是，且，那麼滿足條件的 a、 有乙個解 b、有兩個解 c、無解 d、不能確定
（答：c）；
（2）在中，a＞b是成立的_____條件
（答：充要）；
（3）在中，，則＝_____
（答：）；
(4)在中，分別是角a、b、c所對的邊，若，則＝____
（答：）；
（5）在中，若其面積，則=____
（答：）；
（6）在中，，這個三角形的面積為，則外接圓的直徑是_______
（答：）；
（7）在△abc中，a、b、c是角a、b、c的對邊， = ，的最大值為
（答：）；
（8）在△abc中ab=1，bc=2，則角c的取值範圍是 ＿＿
（答：）；
（9）設o是銳角三角形abc的外心，若，且的面積滿足關係式，求（答：）．
8、反三角函式：
（1）反三角函式的定義（以反正弦函式為例）：表示乙個角，這個角的正弦值為,且這個角在內。
(2)反正弦、反余弦、反正切的取值範圍分別是.
在用反三角表示兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角、直線的傾斜角、到的角、與的夾角以及兩向量的夾角時，你是否注意到了它們的範圍？，，．
9、求角的方法：先確定角的範圍，再求出關於此角的某乙個三角函式（要注意選擇，其標準有二：一是此三角函式在角的範圍內具有單調性；二是根據條件易求出此三角函式值）。如
（1）若，且、是方程的兩根，則求的值______
（答：）；
（2）中，，則＝_______
（答：）；
（3）若且，，求的值
（答：）.
專題輔導三
形如函式的基本性質及解題思路
課時：4課時
學習目標：
1、掌握形如函式的基本性質。
2、知道解題方法。
（一）、知識要點梳理
1、幾個物理量：a：振幅； 頻率（週期的倒數）；：相位；：初相；
2、函式表示式的確定：a由最值確定；由週期確定；由圖象上的特殊點確定，如，的圖象如圖所示，則＝_____（答：）；
3、函式圖象的畫法：①「五點法」――設，令＝0，求出相應的值，計算得出五點的座標，描點後得出圖象；②圖象變換法：這是作函式簡圖常用方法。
4、函式的圖象與圖象間的關係：①函式的圖象縱座標不變，橫座標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函式圖象的縱座標不變，橫座標變為原來的，得到函式的圖象；③函式圖象的橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到函式的圖象；④函式圖象的橫座標不變，縱座標向上（）或向下（），得到的圖象。
要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，如
（1）函式的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象？
（答：向上平移1個單位得的圖象，再向左平移個單位得的圖象，橫座標擴大到原來的2倍得的圖象，最後將縱座標縮小到原來的即得的圖象）；
(2) 要得到函式的圖象，只需把函式的圖象向___平移____個單位
（答：左；）；
（3）將函式影象，按向量平移後得到的函式影象關於原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
（4）若函式的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值範圍是
（答：）
附錄一、三種基本變換規律：
1．平移變換規律
(1)水平平移：y＝f(x＋ )的圖象，可由y＝f(x)的圖象向左( ＞0), 或向右( ＜0)平移| |個單位得到。
(2)垂直平移：y＝f(x)+b的圖象，可由y＝f(x)的圖象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|個單位得到。
三角函式圖象和性質 總結的很全面,不看後悔
三角函式專題輔導 課程安排 製作者 程國輝 專題輔導一 三角函式的基本性質及解題思路 課時 4 5學時 學習目標 1.掌握常用公式的變換。2.明確一般三角函式化簡求值的思路。第一部分三角函式公式 1 兩角和與差的三角函式 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin...
三角函式的圖象和性質
二.學習目標 1 了解正弦 余弦 正切 餘切函式的圖象的畫法，會用 五點法 畫正弦 余弦函式和函式的簡圖，理解的物理意義，掌握由函式的圖象到函式的圖象的變換原理 2 掌握三角函式的定義域 值域的求法 理解週期函式與最小正週期的意義，會求經過簡單的恒等變形可化為或的三角函式的週期 掌握三角函式的奇偶性...
三角函式圖象與性質
三角函式圖象與性質 湛一教育理科 1 正弦函式 余弦函式和正切函式的圖象與性質 2 函式的性質 振幅 週期 頻率 相位 初相 3 函式，當時，取得最小值為 當時，取得最大值為，則，4 作函式的圖象的兩種方法 1 用 五點法 作圖 主要是通過變數代換，設，由z取0，來求出相應的x，通過列表，計算得出五...