反比例函式題型總結

知識點l. 反比例函式的概念

一般地，如果兩個變數x、y之間的關係可以表示成或y=kx-1（k為常數，）的形式，那麼稱y是x的反比例函式。

反比例函式的概念需注意以下幾點：

（1）k是常數，且k不為零；

（2）中分母x的指數為1，如，就不是反比例函式。

（3）自變數x的取值範圍是的一切實數.

（4）自變數y的取值範圍是的一切實數。

例1、如果函式為反比例函式，則的值是（）

a 、 b、 c 、 d、

練習當n取什麼值時，y＝（n2+2n）x是反比例函式?

知識點2. 反比例函式的圖象及性質

反比例函式的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位於第

一、三象限或第

二、四象限。它們關於原點對稱、反比例函式的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近座標軸，但永遠不與座標軸相交。

反比例函式的性質

的變形形式為（常數）所以：

（1）其圖象的位置是：

當時，x、y同號，圖象在第

一、三象限；

當時，x、y異號，圖象在第

二、四象限。

（2）若點(m,n)在反比例函式的圖象上，則點（-m,-n）也在此圖象上，故反比例函式的圖象關於原點對稱。

（3）當時，在每個象限內，y隨x的增大而減小；

當時，在每個象限內，y隨x的增大而增大；

例1如圖，函式y＝與y＝-kx+1（k≠0）在同一座標系內的影象大致為（）

例2當n取什麼值時，y＝（n2+2n）x是反比例函式?它的影象在第幾象限內?在每個象限內，y隨x的增大而增大或是減小?

練習1已知點a（）、b（）是反比例函式（）圖象上的兩點，

若，則有（　　）

a． b． c． d．

2矩形面積為4，它的長與寬之間的函式關係用圖象大致可表示為（）

3．根據物理學家波義耳2023年的研究結果：在溫度不變的情況下，氣球內氣體的壓強p(pa)與它的體積v(m3)的乘積是乙個常數k，即pv＝k(k為常數，k＞0)，下列圖象能正確反映p與v之間函式關係的是（）。

4已知反比例函式的影象上有兩點a(，)，b(，)，且，則的值是（）

a 、正數 b、負數 c 、非正數 d 、不能確定

5．已知三點，，都在反比例函式的圖象上，若，，則下列式子正確的是（）

a． b．

c． d．

知識點3. 反比例函式解析式的確定。

用待定係數法求反比例函式關係式的一般步驟是：

①設所求的反比例函式為：（）；

②根據已知條件，列出含k的方程；

③解出待定係數k的值；

④把k值代入函式關係式中。

例反比例函式的圖象經過a（1，-2），求反比例函式的關係式

練習．已知點是反比例函式圖象上的一點，則此反比例函式圖象的解析式是

知識點4. 用反比例函式解決實際問題

反比例函式的應用須注意以下幾點：

①反比例函式在現實世界中普遍存在，在應用反比例函式知識解決實際問題時，要注意將實際問題轉化為數學問題。

②針對一系列相關資料**函式自變數與因變數近似滿足的函式關係。

③列出函式關係式後，要注意自變數的取值範圍。

例某商場**一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發現此商品的日銷售單價x元與日銷售量y之間有如下關係

（1）根據表中的資料，在平面直角座標系中描出實數對（x，y）的對應點；

（2）猜測並確定y與x之間的函式關係式，並畫出圖象

（3）設經營此卡的銷售利潤為w元，試求出w與x之間的函式關係式，若物價局規定此卡的售價最高不超過10元/個，請求出當日銷售單價定為多少元時，才能獲得最大銷售利潤？

練習某氣球內充滿了一定質量的氣球,當溫度不變時,氣球內氣球的壓力p(千帕)是氣球的體積v(公尺2)的反比例函式,其圖象如圖所示(千帕是一種壓強單位)[**:學&科&網z&x&x&k]

（1）寫出這個函式的解析式；

（2）當氣球的體積為0.8立方公尺時,氣球內的氣壓是多少千帕？

（3）當氣球內的氣壓大於144千帕時,氣球將**,為了安全起見,氣球的體積應不小於多少立方公尺？

知識點5.反比例函式綜合

例：如圖，反比例函式的圖象與一次函式的圖象交於，兩點．[**:學科網]

（1）求反比例函式與一次函式的解析式；

（2）根據圖象回答：當取何值時，反比例函式的值大於一次函式的值

解題思路：(1)由在的圖象上，則k=3，反比例函式關係式為；

由也在的圖象上，則n=-3,所以b（-3，-1）。把

b（-3，-1）代入中，由待定係數法可求得m和b.

（2）由圖象可知：當x=-3或1時反比例函式的值等於一次函式的值，再結合圖象回答。

例2 反比例函式的圖象如圖所示，點m是該函式圖象上一點，mn垂直於x軸，垂足是點n，如果s△mon＝2，求k的值

分析：設m（x,y）又根據△mon的面積與點m的關係可得：

s△mon=所以k=±4,又函式圖象在第

二、四象限，則k=-4

練習1．如圖，矩形aocb的兩邊oc，oa分別位於x軸，y軸上，點b的座標為b（－，5），d是ab邊上的一點，將△ado沿直線od翻摺，使a點恰好落在對角線ob上的點e處，若點e在一反比例函式的影象上，那麼該函式的解析式是______．

2反比例函式（k0）在第一象限內的圖象，p為該圖象上任一點，pq⊥x軸，設△poq的面積為s，則s與k之間的關係是（）

a． b． c．s=k d．sk

3 設p是函式在第一象限的影象上任意一點，點p關於原點的對稱點為p』，過p作pa平行於y軸，過p』作p』a平行於x軸，pa與p』a交於a點，則的面積（）[**:學科網zxxk]

a．等於2 b．等於4 c．等於8 d．隨p點的變化而變化

4.兩個反比例函式y=和y=在第一象限內的影象如圖3所示，點p在y=的影象上，pc⊥x軸於點c，交y=的影象於點a，pd⊥y軸於點d，交y=的影象於點b，當點p在y=的影象上運動時，以下結論：

①△odb與△oca的面積相等；

②四邊形paob的面積不會發生變化；

③pa與pb始終相等

④當點a是pc的中點時，點b一定是pd的中點．

其中一定正確的是_______（把你認為正確結論的序號都填上，少填或錯填不給分）．

過關測試

一、選擇題：

1、小華以每分鐘x字的速度書寫，y分鐘寫了300個字，則y與x的函式關係式為( )

(a) x= (b) y= (c) x+y=300 (d) y=

2、如果反比例函式的影象經過點（－3，－4），那麼函式的影象應在（　　　）

a、第

一、三象限　 b、第

一、二象限

c、第

二、四象限　 d、第

三、四象限

3、若反比例函式的影象在第

二、四象限，則的值是（　　）

a、－1或1 　 b、小於的任意實數 c、－1　　　ｄ、不能確定

4、下列函式中y隨x的增大而減小的是（）

a、 b、 c、 d、

5、正比例函式和反比例函式在同一座標系內的圖象為（）

abcd[**:學§科§網z§x§x§k]

6、在函式y=(k<0)的影象上有a(1,y)、b(－1,y)、c(－2,y)三個點，則下列各式中正確的是（）

(a) y7、、如右圖，a為反比例函式圖象上一點，ab垂直軸於b點，若s△aob＝3，則的值為（）

a、6 b、3 c、 d、不能確定

8、在同一直角座標平面內，如果直線與雙曲線沒有交點，那麼和的關係一定是（）[**

a <0，>0 b >0，<0 c 、同號 d 、異號

9、若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函式的圖象上的點，並且x1＜0＜x2＜x3，則下列各式中正確的是

a、y1＜y2＜y3　　　b、y2＜y3＜y1　　　c、y3＜y2＜y1　　　d、y1＜y3 ＜y2

10、點a（a,b）、b（a－1，c）均在函式的圖象上，若a＜0，則ｂ與ｃ的大小關係是（　　）

a、ａ＞ｃ　 b、ｂ＜ｃ　 c、ｂ＝ｃ

11．在反比例函式的圖象的每一條曲線上，的增大而增大，則的值可以是（）

a． b．0 c．1 d．2

12．乙個直角三角形的兩直角邊長分別為，其面積為2，則與之間的關係用圖象表示大致為（）

二、填空題：

1、右圖是反比例函式的圖象，則k與0的大小關係是k 0；

2、已知是的反比例函式，當=3時，=4，則當=2時

3、反比例函式在第一象限內的圖象如圖，點m是影象上一點，

mp垂直軸於點p，如果△mop的面積為1，那麼的值是

4、已知-2與成反比例，當=3時，=1，則與間的函式關係式為學.科.

5、在體積為20的圓柱體中，底面積s關於高h的函式關係式是

6、對於函式，當時，y的取值範圍是當時且時，y的取值範圍是y ______1，或y ______。（提示：利用影象解答）

三解答題

1、如圖，一次函式的圖象與反比例函式的圖象相交於a、b兩點

（1）根據圖象，分別寫出a、b的座標；

（2）求出兩函式解析式；

（3）根據圖象回答：當為何值時，

一次函式的函式值大於反比例函式的函式值

2、如圖，rt△abo的頂點a是雙曲線與直線在第二象限的交點，

ab⊥軸於b且s△abo=

（1）求這兩個函式的解析式

（2）a，c的座標分別為（-，3）和（3，1）求△aoc的面積。

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