考點一導數的幾何意義
例1 [2011·湖南卷] 曲線y＝－在點m處的切線的斜率為( )
a．－ b . c．－ d.
例2 [2011·山東卷] 曲線y＝x3＋11在點p(1,12)處的切線與y軸交點的縱座標是( )
a．－9 b．－3 c．9 d．15
考點二導數的運算
例3 [2011·江西卷] 若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為( )
a．(0，＋∞) b．(－1,0)∪(2，＋∞)
c．(2，＋∞) d．(－1,0)
例4 [2011·遼寧卷] 函式f(x)的定義域為r，f(－1)＝2，對任意x∈r，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為( )
a．(－1,1) b．(－1，＋∞) c．(－∞，－1) d．(－∞，＋∞)
考點三利用導數研究函式的單調性
例5[2011·廣東卷] 設a＞0，討論函式f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的單調性．
例6 [2011·福建卷] 已知a，b為常數，且a≠0，函式f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然對數的底數)．
(1)求實數b的值；
(2)求函式f(x)的單調區間；
例7[2011·安徽卷] 設f(x)＝，其中a為正實數．
(1)當a＝時，求f(x)的極值點；
(2)若f(x)為r上的單調函式，求a的取值範圍．
考點四利用導數研究函式的極值問題
例8 [2011·安徽卷] 函式f(x)＝axm(1－x)n在區間[0,1]上的影象如圖1－2所示，則m，n的值可能是( )
a．m＝1，n＝1 b．m＝1，n＝2
c．m＝2，n＝1 d．m＝3，n＝1【答案】b
例9[2011·浙江卷] 設函式f(x)＝(x－a)2lnx，a∈r.
(1)若x＝e為y＝f(x)的極值點，求實數a；
(2)求實數a的取值範圍，使得對任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．
注：e為自然對數的底數．
考點四利用導數研究函式的最值問題
例10[2011·北京卷] 已知函式f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若對於任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值範圍．
例11 [2011·江西卷] 設f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在單調遞增區間，求a的取值範圍；
(2)當0例12 [2011·課標全國卷] 已知函式f(x)＝＋，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果當x＞0，且x≠1時，f(x)＞＋，求k的取值範圍．
例13 [2011·遼寧卷]已知函式f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)設a＞0，證明：當0＜x＜時，f＞f；
(3)若函式y＝f(x)的圖象與x軸交於a，b兩點，線段ab中點的橫座標為x0，證明f′(x0)＜0.
考點七利用導數研究實際問題
例14 [2011·山東卷]某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：公尺），其中容器
的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方公尺，且
．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方公尺建造費用為3
千元，半球形部分每平方公尺建造費用為（）千元．設該容器的
建造費用為千元．
(ⅰ) 寫出關於的函式表示式，並求該函式的定義域；
(ⅱ) 求該容器的建造費用最小時的．
針對訓練
一．選擇題
1.（2012廣西柳鐵一中第一次月考）已知為實數，函式的導函式是偶函式，則曲線在原點處的切線方程是（ ）
2.（2012屆瀏陽一中高三第一次月考）函式在下面那個區間為增函式
a b. c. d.
3.（2012屆四川自貢高三一診）下列影象中，有且只有乙個是函式的導數的圖象，則的值為
4.（銀川一中2012屆高三年級第四次月考）
過點（0，1）且與曲線在點（3，2）處的切線垂直的直線的方程為( )
a． b． c． d．
5.（銀川一中2012屆高三年級第四次月考）
若函式的導函式，則使得函式單調遞減的乙個充分不必
要條件是x∈( )
a．[0，1] b．[3，5] c．[2，3] d．[2，4]
6.（河北省唐山市2012屆高三上學期摸底考試數學）.曲線與直線及
所圍成的封閉圖形的面積為（ ）
a. b.
c. d.
7.（2012屆江西省重點中學協作體高三第一次聯考）
如圖，設d是圖中所示的矩形區域，e是d內函式
圖象上方的點構成的區域，向d中隨機投
一點，則該點落入e（陰影部分）中的概率為（ ）
a． b． c． d．
8.（浙江省名校新高考研究聯盟2012屆第一次聯考）
已知函式，方程有四個實數根，則的取值範圍為
a． b． c． d．
9.（2012北京海淀區高三年級第一學期期末試題）
已知函式，那麼下列命題中假命題是
（a）既不是奇函式也不是偶函式 （b）在上恰有乙個零點
（c）是週期函式d）在上是增函式
二．填空題
10.(2011杭西高8月高三數學試題)垂直於直線，且與曲線相切的直線的方程是________.
11．（2012屆瀏陽一中高三第一次月考）若函式，其中為實數. 在區間上為減函式，且，則的取值範圍
12.（2012湖北省孝感市度高中三年級第一次統一考試）
對於三次函式，定義：設是函式的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函式的「拐點」.有同學發現「任何乙個三次函式都有『拐點』；任何乙個三次函式都有對稱中心；且『拐點』就是對稱中心.
」請你將這一發現作為條件,求
(1) 函式對稱中心為_______.(2分）
(2) 若函式，
則3 分）
13.【河北唐山市2011—2012學年度高三年級第一學期期末考試（文）】
已知函式
（1）若曲線在點處的切線斜率為-2，求a的值以及切線方程；
（2）若是單調函式，求a的取值範圍。
12分14．（2023年長春市高中畢業班第一次調研測試（文））
已知定義在正實數集上的函式，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．
⑴用表示，並求的最大值；
⑵求的極值．
（2023年長春市高中畢業班第一次調研測試理）
已知函式.
⑴求函式的最小值；
⑵若≥0對任意的恆成立，求實數a的值；
⑶在⑵的條件下，證明：.
15（2012屆惠州市高三第二次調研考試數學試題(文科）
已知函式為奇函式，且在處取得極大值2.
（1）求函式的解析式；
（2）記，求函式的單調區間。
17.（荊州市2012屆高中畢業班質量檢查（ⅰ）文）
設二次函式的影象過原點，，
的導函式為，且，
（1）求函式，的解析式；
（2）求的極小值；
（3）是否存在實常數和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，說明理由。
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