§4.12.2 小結與複習(二)、(三)
●教學目標
(一)知識目標
1.任意角的概念、弧度制、任意角的三角函式的概念、同角三角函式間的關係、誘導公式；
2.兩角和與差的三角函式、二倍角的三角函式；
3.三角函式的圖象和性質、已知三角函式值求角.
(二)能力目標
1.理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算；
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，並會利用與單位圓有關的三角函式線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的餘切、正割、餘割的定義；掌握同角三角函式的基本關係式；掌握正弦、余弦的誘導公式；
3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
4.能正確運用三角公式，進行三角函式式的化簡、求值及恒等式證明；
5.會用與單位圓有關的三角函式線畫出正弦函式、正切函式的圖象，並在此基礎上由誘導公式畫出余弦函式的圖象；理解週期函式與最小正週期的意義；並通過它們的圖象理解正弦函式、余弦函式、正切函式的性質；會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y＝asin(ωx＋)的簡圖，理解a、ω、的物理意義；
6.會用已知三角函式值求角，並會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示.
(三)德育目標
1.滲透「化歸」思想；
2.培養邏輯推理能力；
3.提高解題能力.
●教學重點
三角函式公式、三角函式(尤其是正弦函式、余弦函式、正切函式)的圖象和性質的應用.
●教學難點
靈活應用三角公式，正弦、余弦、正切函式的圖象和性質解決問題.
●教學方法
講練結合法
通過講解強化訓練題目，加深對三角函式知識的理解，提高對三角函式知識的應用能力.
●教學過程
a組1.解：(1) z}，
(2) z}，
(3) z}，
(4) z｝，－2π，0，2π
評述：這一題目要求我們首先要準確寫出集合s，並判斷k可取何值時，能使集合s中角又屬於所要求的範圍.
2.解：由l＝｜α｜r得
cmcm2
答：周長約44 cm，面積約1．1×10 cm2
評述：這一題需先將54°換算為弧度數，然後分別用公式進行計算.
3.(1)sin4＜0；(2)cos5＞0；(3)tan8＜0；(4)tan(－3)＞0．
評述：先判斷角所屬象限，然後確定其三角函式的符號.
當為第一象限角時，sin＝，tan＝；
當為第四象限角時，sin＝－，tan＝－.
評述：先由已知條件確定角所屬象限，然後結合同角三角函式基本關係式，求出另外的三角函式值.
5.解：由sinx＝2cosx，得tanx＝2
∴x為第一象限或第三象限角
當x為第一象限角時
tanx＝2，cotx＝，cosx＝，secx＝，sinx＝，cscx＝
當x為第三象限角時
tanx＝2，cotx＝，cosx＝－，secx＝－，sinx＝－，cscx＝－
評述：注意靈活使用同角三角函式的基本關係式的變形式，即「1」的妙用，這也是三角函式式化簡過程中常用的技巧之一，另外，注意及時使用誘導公式和三角函式圖象和性質：當α∈［0,)時，sinα＜cosα.
7.解：sin4α－sin2α＋cos2α＝sin2α(sin2α－1)＋cos2α＝(1－cos2α)(－cos2α)＋cos2α
＝－cos2α＋cos4α＋cos2α＝cos4α
評述：注意使用sin2α＋cos2α＝1及變形式.
8.證明：(1)左邊＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)
＝2－2sinα＋2cosα－sin2α
右邊＝(1－sinα＋cosα)2＝［1－(sinα－cosα)］2
＝1－2(sinα－cosα)＋(sinα－cosα)2
＝1－2sinα＋2cosα＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα
＝2－2sinα＋2cosα－sin2α
∴左邊＝右邊
即原式得證.
(2)左邊＝sin2α＋sin2β－sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β
＝sin2α(1－sin2β)＋cos2α·cos2β＋sin2β
＝sin2α·cos2β＋cos2α·cos2β＋sin2β
＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1＝右邊
∴原式得證
評述：三角恒等式的證明一般遵循由繁到簡的原則.
9.解：(1)
將tanα＝3代入得，原式＝
(2)sinαcosα＝tanα·cos2α＝tanα·
(3)(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×
評述：注意挖掘已知條件與所求結論中的三角函式的關係.
10.解：(1)sinπ＋cosπ＋tan(－π)＝sin＋cos－tan=
(2)sin2＋cos3＋tan4≈1．0777
評述：注意靈活應用誘導公式化簡後再求值.
11.解：(1)∵sin(π＋α)＝－＝－sinα
∴sinα＝
∴cos(2π－α)＝cosα＝±
當α為第一象限時，cosα＝
當α為第二象限時，cosα＝－
(2)tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝tanα
當α為第一象限時，tanα＝
當α為第二象限時，tanα＝－
評述：要注意討論角的範圍.
12.解：(1)sin378°21′＝sin18°21′＝0．3148
(2)sin(－879°)＝－sin(159°)＝－sin21°＝－0．3584
(3)sin3＝0．1409
評述：要用誘導公式將其轉化為銳角三角函式值問題.
13.解：設0＜x＜2π
14.解：∵cosα＝－且π＜α＜
∴sinα＝－，∴tanα＝
∴tan(－α)＝
評述：仔細分析題目，要做到有的放矢.
15.解：∵sinα＝，α為銳角 ∴cosα＝
又∵sinβ＝，β為銳角 ∴cosβ＝
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
又∵0說明：若先求出sin(α＋β)＝，則需否定α＋β＝.
評述：一般地，若所求角在(0，π)上，則一般取此角的余弦較為簡便；若所求角在(－，)上，則一般取此角的正弦較為簡便.
16.(1)證明：∵
∴tan(a＋b)＝tan＝1＝
即：tana＋tanb＝1－tanatanb
∴tana＋tanb＋tanatanb＝1
∵(1＋tana)(1＋tanb)＝1＋tana＋tanb＋tanatanb
∴(1＋tana)(1＋tanb)＝2
(2)證明：由(1＋tana)(1＋tanb)＝2得
tana＋tanb＝1－tanatanb
又∵0＜a＜，0＜b＜
∴tana＋tanb＞0
即tan(a＋b)＝1
又∵0＜a＋b＜π
∴a＋b＝
(3)解：由上述解答過程可知：
兩銳角之和為直角之半的充要條件是(1＋tana)(1＋tanb)＝2不可以說「兩個角a、b之和為的充要條件是(1＋tana)(1＋tanb)＝2」因為在(2)小題中要求a、b都是銳角.
17.證明：設正方形的邊長為1
則tanα＝，tanβ＝
∴tan(α＋β)＝
又∵0評述：要緊扣三角函式定義.
18.證明：∵0＜α，β，γ＜
且tanα＝＜1，tanβ＝＜1，tanγ＝＜1
∴0＜α，β，γ＜
又∵tan(α＋β＋γ)＝1
0＜α＋β＋γ＜
∴α＋β＋γ＝45°
19.解：(1)由cos2α＝
得(2)
(3)由sinθ＋cosθ＝
得(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋sin2θ＝
∴sin2θ＝－
(4)∵(sin＋cos)2＝1＋2sin·cos＝
(sin－cos)2＝1－2sin·cos＝
又∵＜＜
∴sin＋cos＝ sin－cos＝
∴sin＝，cos＝
20.解：設△abc的底為a，則腰長為2ａ
∴sin＝ cos＝
∴sina＝2sincos＝
cosa＝2cos2－1＝－1＝
tana＝．
21.證明：p＝ｉｖ＝ｉｍsinωｔ·ｖｍsinsinωｔcosωｔ＝ｉｍｖｍsin2ωｔ
22.證明：由題意可知：
sin＝
cos＝
∴sinθ＝2sincos＝2··＝
23.解：由教科書圖4—12，可知：
當α為某一象限角時，有：
｜sinα｜＝｜mp｜，｜cosα｜＝｜om｜
∵｜mp｜＋｜om｜＞｜op｜＝1，
∴｜sinα｜＋｜cosα｜＞1
當α的終邊落在座標軸上時，有｜sinα｜＋｜cosα｜＝1．
因此，角α的正弦絕對值與余弦絕對值之和不小於1.
評述：要注意數形結合這種重要的數學思想的利用.
24.解：(1)由1－tanx≠0，得tanx≠1
∴x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈z
∴函式y＝的定義域為：
｛x｜x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈z｝
(2)由≠kπ＋得x≠2kπ＋π，k∈z
∴y＝tan的定義域為｛x｜x≠2kπ＋π，k∈z｝
25.解：(1)由cos2x＝1．5，得cosx＝±
又∵［－1，1］
∴cos2x＝1．5不能成立.
(2)由sinx－cosx＝sin(x－)∈［－，］
∴sinx－cosx＝2．5不能成立
(3)當x＝時，tanx＝1
∴tanx＋＝2有可能成立
(4)由sin3x＝－得sinx＝－∈［－1，1］
∴sin3x＝－成立.
評述：要注意三角函式的有界性.
26.解：(1)當sinx＝1時，即x＝2kπ＋，k∈z時,
y＝＋取得最大值.
∴y＝＋的最大值為＋.
使y取得最大值的x的集合為｛x｜x＝＋2kπ，k∈z｝.
當sinx＝－1時，即x＝－＋2kπ時.
y＝＋取得最小值.
∴y＝＋的最小值為－.
使y取得最小值的x的集合為｛x｜x＝－＋2kπ，k∈z｝.
(2)當cosx＝－1即x＝(2k＋1)π時,
y＝3－2cosx取得最大值,
∴y＝3－2cosx的最大值為5.
使y取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋π，k∈z｝.
當cosx＝1，即x＝2kπ時
y＝3－2cosx取得最小值
∴y＝3－2cosx的最小值為1
使y取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ，k∈z｝
27.解：(1)y＝sinx－cosx(x∈r)＝2sin(x－)，
∴ymax＝2，ymin＝－2
三角函式小結 二
一 三角函式的影象 二 三角函式的性質 1 週期性 1 週期的判斷方法 定義法 影象法 結論法 的週期為的週期為 的週期為 的週期為的週期為 的週期為 2 單調性在在 在1 無限制條件求單調區間 求函式的單調增區間 2 有限制條件求單調區間 求函式在上的單調增區間 3 判斷是否是單調區間 函式的乙個...
三角函式小結和複習
知識回放 理解本章知識結構體系 如下圖 了解本章知識之間的內在聯絡。過程與方法 三角函式值的符號是由對應的三角函式線的方向確定的 具有相同性質的角可以用集合或區間表示，是一種對應關係 弧度制的任意角是實數，這些實數可以用三角函式線進行圖形表示，因此，複習的目的就是要進一步了解符號確定方法，了解集合與...
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