3.1角的新定義、弧度制及三角函式新定義
[知識清單]
1. 任意角(正角、 負角和零角)：規定把按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；按方向旋轉形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了乙個 .
2.(座標系上的象限角和軸上角)
象限角：如果使角的頂點與座標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是角;
軸上角:如果角的終邊落在座標軸上，則這個角不是象限角,可以稱為軸上角.
比如:第ⅰ象限角的集合為：
第ⅲ象限角的集合為
終邊在x軸上角的集合為：
終邊在座標軸上的角
3. 終邊相同的角的集合：所有與角α終邊相的角，連同角α在內，可構成乙個集合
4.角度制與弧度制: 規定周角的為1度的角；而把長度的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；我們分別把用度、弧度作單位度量角的制度叫做角度制、 制.
一般的: 180°= rad ；1°=
5. 弧度制下的有關公式. 若乙個扇形的半徑為r，圓心角的弧度為α，則這個扇形的弧長公式為:;面積公式為
6.單位圓：在座標系中，我們稱以原點o為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓。
7. 任意角的三角函式：若α的終邊與單位圓交於p(x,y), 那麼：
（1）y叫做α的正弦，記作sin
（2）x叫做α的余弦，記作cosα=x.；
（3）叫做α的正切，記作tanx≠0）,其中:α≠＋kπ(k∈z)
特別的，若p(x,y)為α的終邊上任意一點，則它到原點的距離r= ，那麼就有：sinα=, costanα=（x≠0）.
顯然,終邊相同的角的每種三角函式值都是相等的.
8.三角函式線：設角α的終邊與單位圓交於p點，與過a(1,0)單位圓的切線交於t 點（或終邊的反向延長線），過p作pm⊥x軸於m ，則有向線段mp、om、 分別叫做角α正弦、余弦、正切線，統稱為三角函式線。
即sinα=mp ； cosα=om ； tanα=at
三角函式線是三角函式的一種幾何表示.
9.誘導公式（一）:sin(α＋2kπ)= sinα;
cos(α+2kπ)= ;tan(α＋2kπ)=_
[典型例題]
例1：若角是第二象限角，那麼都不是（ ） a.第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角
例題2：寫出終邊落在下圖陰影區域內的角的集合（含邊界）（1
（2例題3：集合,而,則( )
a.； b.
c.； d.
例題4：設一扇形的周長為c（c>0）,則當扇形所對圓心角為多大時,它有最大面積?最大面積是多少?
例題5：若角的終邊經過點,求與、的值。
例題6： 設α為第二象限的角，p(x,)是其終邊上一點，且cosα=，求sinα的值。
例題7：求值:sin(－1740°)·cos1470°＋cos(－660°)sin750°＋tan405°
例題8：已知關於的方程有兩個不相等的正根，試求角的取值範圍。
[課堂練習]
1.下列命題正確的是（ ）
a.銳角一定是第一象限角；b. 第一象限角一定不是負角； c.第二象限角一定大於第一象限角； d. 直角既是第一象限角也是第二象限角。
2.與終邊相同的角可以表示為（ ）
a.，b.
c. d.
3.表示為形式是( )
a.；b. ；c.； d.
4.已知集合而
則5.已知角的正弦線和余弦線是長度相等的有向線段,則其終邊在( )
a.第一象限角平分線上； b. 第
一、三象限的角平分線上；
c. 第
二、四象限的角平分線上；d.各象限的角平分線上
6.若，且角的終邊經過點，則
7. 求下面函式的定義域：
[課堂小結]由學生自我整理
[課後作業]
1.若是鈍角，則是（ ）
a. 第一象限角 b. 第二象限角
c. 第三象限角 d. 第四象限角
2.已知集合a=，b=，求a與b的關係。
3.圓上有a、b、c、d、e五點，將圓周分成長度為1：3：3：5：6的五段弧，求五邊形abcde的各內角的弧度數。
4.若圓中某弧的度數為,半徑為2，則該弧所對應的弓形的高為
5. 若角的終邊在直線y= - 2x上，則等於（ ）
a.-； b.； c.- 2； d.
6. 已知角的正切線at是單位長度的有向線段，且與y軸反向，則其終邊在( )
a. x軸上； b.直線上；
c.直線上； d. 直線或上
7.數列的通項是，則
8.求函式的值域。
9.如果點p（,2cosθ）位於第三象限，那麼角θ所在的象限是（ ）
a.第一象限b.第二象限
c.第三象限d.第四象限
10.求值:
2sin＋tan·tan(－)
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3．2誘導公式及同角三角函式關係
[知識清單]
1．周角三角函式的基本關係
(1)平方關係
(2)商數關係
(3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之間的關係。
(sinα＋cosα)2=1＋2sinαcosα
（sinα－cosα）2=1－2sinαcosα
(sinα＋cosα) 2＋(sinα－cosα) 2=2
2．誘導公式
誘導公式一～六及推論的概括：奇變偶不變，符號看象限．
(1)，其中為任意三角函式，為的餘名三角函式；
(2)把看成銳角時，各角的象限：
[典型例題]
例1． 已知sinα=,求cosα,tanα的值。
例2．已知，求下列各式的值。
（1）（2）sinα+sinαcosα+2
例3．化簡：
例4．已知求的值．
例5．已知，且是第四象限角，則=
[課堂練習]
1． （ ）
2．已知，則的值是（ ）
a. b.－ c.2 d.-2
3． ______
4. 已知α是三角形的內角，sinα+cosα= ，求tanα的值。
5．化簡：
[課堂小結]由學生自我整理。
[課後作業]
1．已知，則（ ）
2．當α∈(π,2π)， =時，cosα等於（ ）
a.- b.- c. d.－
3．已知sin (π+α)=（α為第四象限角），則cos（π－α）+ tan
4．已知函式f(x)滿足f(tanx)=,則f(x
5．若f(x)=（1）化簡f(x)；
（2）若α是第三象限的角，且sin（α+9π）=，求f（α）的值；
（3）若α=，求f（α）的值．
6 . 已知
求 (1)； (2)
7．銳角三角形中，比較與的大小．
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3．3三角恒等變形
[知識清單]
1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
; ;
對正切的和角公式有其變形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有時應用該公式比較方便。
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
.要熟悉余弦「倍角」與「二次」的關係（公升角—降次，降角—公升次）．特別注意公式的三角表達形式，且要善於變形，
這兩個形式常用。
3. 簡單的三角恒等變換
（1）變換物件：角、名稱和形式，三角變換隻變其形，不變其質。
（2）變換目標：利用公式簡化三角函式式，達到化簡、計算或證明的目的。
（3）變換依據：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）變換思路：明確變換目標，選擇變換公式，設計變換途徑。
[典型例題]
例1. 設
則有（ ）
a. b.
c. d.
例2. 已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．
例3. 化簡：
［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．
例4．已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值。
例5．若求的取值範圍。
例6．已知：向量， ，函式
（1）若且，求的值；
（2）求函式取得最大值時，向量與的夾角．
[課堂練習]
1．sin14cos16+sin76cos74的值是（ ）
a． b． c． d．
2．已知，，則（ ）
a． b． c． d．
4．sin—cos的值是 （ ）
a．0 b． — c． d． 2 sin
5．求證：．
[課堂小結]由學生自我整理。
[課後作業]
1. 化簡2sin（－x）·sin（+x），其結果是（ ）
ａ．sin2x ｂ．cos2x
ｃ．－cos2x ｄ．－sin2x
2． a. b. c. d.
3．若，，則角的終邊一定落在直線（ ）上。
ab．c． d．
4．的值
是 .
5．已知求的值。
6. 若,且, 求的值。
7．設的週期為,最大值.
(1) 求的值;
（2）若為方程的兩根,且的終邊不共線,求的值.
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3.4三角函式圖象與性質
[知識清單]
1.正弦，余弦與正切函式性質
高中數學複習提綱
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高中數學概念總結 範圍 學業水平考試 前15部分 期末考試 第16部分 第一部分集合 1.基本概念 集合 元素 有限集 無限集 空集 全集 符號的使用.2.集合的表示法 列舉法 描述法 圖形表示法 數軸 直角座標系或韋恩圖 集合的性質 任何乙個集合是它本身的子集，記為 空集是任何集合的子集，記為 空...
山東高中數學學業水平考試分值分布及考點分析
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