非線性系統的穩定性分析理論主要有絕對穩定性理論、李亞普諾夫穩定性理論和輸入輸出穩定性理論。絕對穩定性的概念是由前蘇聯學者魯里葉與波斯特尼考夫提出的, 其中最有影響的是波波夫判據和圓判據, 但難以推廣到多變數非線性系統。李亞普諾夫穩定性理論是**天才的數學家李亞普諾夫院士於 1892 年在他的博士**裡提出的, 現在仍被廣泛應用。
但它只是判斷系統穩定性的充分條件, 並且沒有乙個構造李亞普諾夫函式的通用的方法。輸入輸出穩定理論是由i.w.
sanberg和g. zames 提出的。其基本思想是將泛函分析的方法應用於一般動態系統的分析中,而且分析方法比較簡便, 但得出的穩定性結論是比較籠統的概念。
2. 非線性控制理論的研究
上世紀60 年代之後,非線性控制有了較大發展,如自適應控制、模型參考控制、變結構控制等,這些方法大多與lyapunov 方法相關。可以認為是lyapunov 方法在控制領域的豐富成果。上世紀80年代以後,非線性控制的研究進入了乙個興盛時期。
本文主要介紹這一時期非線性控制理論研究的基本問題、方法和現狀。主要表現為以下幾個方面：
2.1 變結構控制方法
前蘇聯學者鄔特金和我國的高為炳教授比較系統地介紹了變結構控制的基本理論。變結構控制方法通過控制作用首先使系統的狀態軌跡運動到適當選取的切換流形,然後使此流形漸近運動到平衡點,系統一旦進入滑動模態運動,在一定條件下,就對外界干擾及引數擾動具有不變性。系統的綜合問題被分解為兩個低維子系統的綜合問題,即設計變結構控制規律,。
由系統不確定因素及引數擾動的變化範圍可以直接確定出適當的變結構反饋控制律解決前一問題。而後一低階系統綜合問題可以用常規的反饋設計方法予以解決。由於變結構控制不需要精確的模型和引數估計的特點,因此這一控制方法具有演算法簡單、抗干擾性能好、容易**實現等優點,適用於不確定非線性多變數控制物件 。
以滑動模態為基礎的變結構控制,早期的工作主要由蘇聯學者完成,這一階段主要以誤差及其導數為狀態變數,研究siso 線性物件的變結構控制和二階線性系統。研究的主要方法是相平面分析法。上世紀60 年代,研究物件擴充套件到mimo 系統和非線性系統,切換流形也不限於超平面,但由於當時硬體技術的滯後,這一階段的主要研究工作,僅限於基本理論的研究。
到了上世紀80 年代,隨著計算機和大功率電子器件等技術的發展,變結構控制的研究進入了乙個新的時代。以微分幾何為主要工具發展起來的非線性控制思想極大地推動了變結構控制理論的發展,如基於精確輸入/ 狀態和輸入/ 輸出線性化及高階滑模變結構控制律等都是近十餘年來取得的成果。所研究的控制物件也已涉及到離散系統、分布引數系統、廣義系統、滯後系統、非線性大系統等眾多複雜系統。
變結構控制研究的主要問題有以下幾點:
2.1.1 受限系統變結構控制
許多實際控制系統需要考慮與外部環境的接觸因素。描述這類系統的動態往往帶有一定的約束或限制條件,故稱為受限系統。約束條件分為完整和非完整約束兩大類。
完整約束上只與受控物件的幾何位置有關,且由代數方程描述,經過積分運算可使約束得到簡化,從而可以分解出若干個狀態變數,將原始系統轉化為一低階無約束系統,故其控制問題與無約束系統相比沒有太大困難。而非完整約束本質上為動態約束,由於不能通過積分等運算將其轉化為簡單的代數運算方程,使其控制及運動規劃等問題變的相當困難。此外還有一些新的特點:
如不能採用光滑或連續的純狀態反饋實現狀態的整體精確線性化,但通過適當的輸出對映選取,可以實現輸入/ 輸出的精確線性化;在光滑的純狀態反饋下不能實現平衡點的漸近穩定,但採用非光滑或時變狀態反饋卻可以實現。
2.1.2 模型跟蹤問題
採用最優控制理論設計多變數控制系統遇到兩個問題:①很難用效能指標指定設計目的。②物件引數往往有大範圍擾動。
克服第乙個困難的有效方法之一是採用「線性模型跟蹤控制」、基本思想是將一刻化設計目標的參考模型作為系統的一部分,使受控物件與參考模型狀態問的誤差達到最小化。但不能克服第二個困難,為使系統在引數變化情況下,保持優良品質,一種有效的方法是「自適應模型跟蹤控制」,其主要設計方法:lyapunov 直接法和超穩定法。
雖然變結構控制理論40 年來取得了很大的進展,而且具有良好的控制特性,但是仍有許多問題沒解決,其振顫問題給實際應用帶來了不利的影響,為了克服這種缺陷,許多學者致力於改善振顫問題的研究,特別是對變結構控制與有關智慧型控制方法,如模糊控制、神經網路等先進控制技術的綜合應用尚處在初步階段,絕大多數研究還僅限於數值**階段。在應用研究方面,大多限於電機、機械人的控制等方法。目前的主要研究內容大都集中在受限系統變結構控制、模型跟蹤問題的變結構控制、離散時間系統的變結構控制、模糊變結構控制等方面。
2．2 反饋線性化方法
反饋線性化方法是近20 年來非線性控制理論中發展比較成熟的主法,特別是以微分幾何為工具發展起來的精確線性化受到了普遍的重視。其主要思想是:通過適當的非線性狀態和反饋變換,使非線性系統在一定條件下可以實現狀態或輸入/ 輸出的精確線性化,從而將非線性系統的綜合問題轉化為線性系統的綜合問題。
它與傳統的利用泰勒展開進行區域性線性化近似方法不同,**性化過程中沒有忽略掉任何非線性項,因此這種方法不僅是精確的,而且是整體的,即線性化對變換有定義的整個區域都適用。
2.2.1 微分幾何方法
該方法是通過微分同胚對映實現座標變換，根據變換後的系統引入非線性反饋，實現非線性系統的精確線性化，從而將非線性問題轉化為線性系統的綜合問題。該方法適合於仿射非線性系統。
2.2．2逆系統方法
該方法的基本思想是：通過求取被控過程的逆過程，將之串聯在被控過程前面，得到解耦的被控物件，然後再用線性系統理論進行設計。由於系統可逆性概念是不侷限於系統方程的特點形式，而具有一定的普遍性，概念和方法容易理解，也避免了微分幾何或其它抽象的專門性數學理論的引入，從而形成了一種簡明的非線性控制理論分支。
逆系統方法研究的基本問題是：乙個系統是否可逆，如何獲得乙個系統的逆系統，逆系統結構的物理可實現等問題。
2.2.3 直接反饋線性化(dfl)方法
該方法的基本思想是：選擇虛擬控制量，從而抵消原系統中的非線性因素，使系統實現線性化。這種方法不需要進行複雜的非線性座標變換，物理概念清楚，數學過程簡明，便於工程界掌握。
該方法不僅適用於仿射非線性系統，而且對於非仿射形非線性系統以及一類非光滑非線性系統均可適用。研究的基本問題有：如何應用dfl理論使系統線性化，線性化以後能否由虛擬輸入量的表示式中求得非線性反饋控制律，線性化以後系統的性質(如可接性、可觀性)如何。
反饋線性化方法為解決一類非線性系統的分析與綜合問題提供了強有力的手段，但是這些方法都要求有苛刻的條件，且結構複雜，有時很難獲得所需的非線性變換；另一方面許多實際系統具有非完整約束的力學系統，不再滿足精確線性化方法中的條件要求，因而非線性系統的近似處理方法具有相當的理論與應用意義。
3. 非線性控制理論面臨的挑戰
非線性控制理論發展至今已取得了豐碩的研究成果, 並得到了廣泛的應用, 但由於非線性系統的複雜性, 非線性系統的分析是十分複雜與困難的, 在許多問題面前, 非線性理論顯得無能為力, 面臨著一系列嚴峻的挑戰,主要表現在以下幾個方面。
3.1 複雜系統的分析與設計
非線性系統理論的最大的挑戰來自複雜系統, 複雜系統目前還沒有乙個統一的定義, 通常認為複雜系統具有複雜物件、複雜任務、複雜環境等三個方面的特徵, 複雜系統也稱為 3c系統。複雜系統中具有大量的未知資訊, 因此複雜系統的建模與辨識是乙個非常複雜的問題, 複雜系統的控制是乙個十分艱鉅的任務。單靠某一種方法是不可能解決上述問題的, 一般認為需要若干智慧型控制方法的組合應用來解決複雜系統的控制問題。
3.2 混合動力學控制
混沌運動的發現, 引起了科學界極大的震動。混沌運動是非線性系統一種比較普遍的運動,在自然界和人類社會中廣泛存在, 因此如何應用混沌應用成果已成為非線性科學的重要課題之一。一方面, 混沌的應用將直接激勵新的研究熱情, 另一方面,混沌的應用提出的新問題將會有力地促進混沌研究的深入。
混沌運動具有初值敏感性和長時間發展趨勢的不可預見性,混沌控制就成為混沌應用的關鍵環節。目前人們對混沌控制的廣義的認識是: 人為並有效地影響混沌系統, 使之發展到實踐需要的狀態。
這包括: 1)混沌運動有害時, 成功地抑制混沌; 2)在混沌有用時, 產生所需要的具有某些特定性質的混沌運動, 甚至產生出特定的混沌軌道; 3)在系統處於混沌狀態時, 通過控制, 產生出人們需要的各種輸出。總之, 盡可能地利用混沌運動自身的各種特性來達到控制目的, 是所有混沌控制的共同特點。
混沌同步與時空混沌控制是混沌控制的重要組成部分。混沌控制不僅為混沌應用準備了必要的手段, 而且在理論上促進混沌理論和系統控制理論兩個方面研究的深入。
3.3 非線性系統的辨識與綜合
對於非線性系統引數模型的辨識問題, 人們最早涉及的是某些特殊型別的非線性系統, 如雙線性系統模型、hammerstain模型、wiener模型、非線性時間序列模型、輸出仿射模型等。隨著人們對非線性系統辨識研究的日益深入, 更為一般的普適性非線性模型的辨識問題就顯得日益重要。非線性時間序列的帶外生變數的自回歸滑動平均(narmax)模型為有限可實現的非線性系統提供了最為一般的輸入2輸出表述形式。
對非引數模型辨識方法有兩類: 第一是基於volterra 泛函式的非線性建模方法。第二是基於神經網路的非線性系統分析建模方法。
在非引數模型辨識中, 以頻率域gfrf 模型辨識研究較為成熟, 其最大的優點是辨識演算法的強魯棒性。但對非線性系統,隨著系統階次的增加, 要求增加輸入輸出資料量, 同時在求解大型線性方程組時因計算機的有限字長效應會引起計算誤差, 從而會降低辨識的精度, 理論上收斂的演算法在實際應用上可能發生發散。同時, 對非線性系統的結構辨識是非常困難的。
非線性系統的全模型的模型項數隨著模型的非線性階次和系統輸入、輸出以及雜訊的最大延遲的增加呈指數增長, 稍大些的非線性階次及最大延遲又將導致模型項數目的組合**, 由它會導致回歸矩陣的存貯、數值病態、計算量過大等問題, 是實際模型辨識的乙個很大的瓶頸。因此, 尋找切實可行的辨識演算法是非線性系統辨識的迫切要求。
非線性理論與方法
ref 1.馮康等編，數值計算方法，國防版。2.何君毅，工程結構非線性問題的數值解法，國防工業版。3.王德人編，非線性方程組解法與最優化方法，高教版 4.李岳生編，數值逼近，人民教育出版社。緒論一 非線性問題的廣泛性 工程中的非線性問題是普遍存在的。嚴格地講，工程中幾乎絕大多數複雜問題都具有非線性本...
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