第一章非線性動力學分析方法（6學時）
一、教學目標
1、理解動力系統、相空間、穩定性的概念；
2、掌握線性穩定性的分析方法；
3、掌握奇點的分類及判別條件；
4、理解結構穩定性及分支現象；
5、能分析簡單動力系統的奇點型別及分支現象。
二、教學重點
1、線性穩定性的分析方法；
2、奇點的判別。
三、教學難點
線性穩定性的分析方法
四、教學方法
講授並適當運用課件輔助教學
五、教學建議
學習本章內容之前，學生要複習常微分方程的內容。
六、教學過程
本章只介紹一些非常初步的動力學分析方法，但這些方法在應用上是十分有效的。
1.1相空間和穩定性
一、動力系統
在物理學中，首先根據我們面對要解決的問題劃定系統，即系統由哪些要素組成。再根據研究物件和研究目的，按一定原則從眾多的要素中選出最本質要素作為狀態變數。然後再根據一些原理或定律建立控制這些狀態變數的微分方程，這些微分方程構成的方程組通常稱為動力系統。
研究這些微分方程的解及其穩定性以及其他性質的學問稱為動力學。
假定乙個系統由n個狀態變數，，…來描述。有時，每個狀態變數不但是時間t的函式而且也是空間位置的函式。如果狀態變數與時空變數都有關，那麼控制它們變化的方程組稱為偏微分方程組。
這裡假定狀態變數只與時間t有關，即xi＝xi (t)，則控制它們的方程組為常微分方程組。
1.1.1)
…其中代表某一控制引數。對於較複雜的問題來說， (i＝l，2，…n)一般是的非線性函式，這時方程(1.1.
1)就稱為非線性動力系統。由於不明顯地依賴時間t，故稱方程組(1.1.
1)為自治動力系統。若明顯地依賴時間t，則稱方程組(1.1.
1)為非自治動力系統。非自治動力系統可化為自治動力系統。
對於非自治動力系統，總可以化成自治動力系統。
例如:令，，上式化為
上式則是乙個三維自治動力系統。
又如：令，則化為
它就是三微自治動力系統.
對於常微分方程來說，只要給定初始條件方程就能求解。對於偏微分方程，不但要給定初始條件而且還要給定邊界條件方程才能求解。
能嚴格求出解析解的非線性微分方程組是極少的，大多數只能求數值解或近似解析解。
二、相空間
由n個狀態變數＝(x1，x2，…xn)描述的系統，可以用這n個狀態變數為座標軸支起乙個n維空間，這個n維空間就稱為系統的相空間。在t時刻，每個狀態變數都有乙個確定的值，這些值決定了相空間的乙個點，這個點稱為系統狀態的代表點(相點)，即它代表了系統t時刻的狀態。隨著時間的流逝，代表點在相空間劃出一條曲線，這樣曲線稱為相軌道或軌線。
它代表了系統狀態的演化過程。
三、穩定性
把方程組(1.1.1)簡寫如下
， i＝l，2，…n1.1.2)
設方程組(1.1.2)在初始條件下的解為，如果用與原來略有差別的初始條件，是乙個小擾動，就會得到方程組的新解。如果對於任意給定的＞0，存在＞0，並且，當時也滿足
，i＝l，2，…n1.1.3)
則稱方程組(1.1.2)的解是穩定的，否則它就是不穩定的。這樣定義的穩定性稱為lyapunov穩定性。
如果是穩定的，並且滿足極限條件
，i＝l，2，…n1.1.4)
則稱是慚近穩定的。
上述抽象的數學定義可以直觀理解為：方程組(1.2)對於不同的初始條件有不同的解，如果原初始條件和受擾動後的初始條件之差限定在一定的範圍內，即，未擾動解和擾動解之差也不超出一定的範圍，即，則末擾動解就是穩定的；如果漸漸趨近於，最終變得和一致，則稱是漸近穩定的；如果與之差不存在乙個有限範圍，即遠離，則稱是不穩定的。
由上述lyapunov穩定性的定義可以看到，要對動力系統的解的穩定性做出判斷，必須對動力學方程組求解，然而對於非線性動力系統是很難獲得解析解的，即使獲得近似解析解也是如此。那麼，我們能否象最小熵產生原理那樣，不用對方程組具體求解就能對系統的穩定性作出判斷。lyapunov發展了這種判斷方法，通常稱為lyapunov第二方法。
這種方法主要是尋找(或構造)乙個lyapunov函式，利用這個函式的性質對系統的穩定性作出判斷。
1.2線性穩定性分析
通過上節對穩定性的定義我們知道，要對非線性微分方程組的解的穩定性作出判斷，最好是求出它的解析解。然而，對於大多數非線性微分方程組很難得到它們的解析解，甚至求近似解析解都是不可能的。雖然lyapunov方法避開了這一困難，但尋找乙個lyapunov函式仍存在著相當的困難。
那麼我們能否不去對非線性方程組去求解，而採取一種既簡單又有效的方法對非線性方程組定態解的穩定性作出定性的判斷。這樣的方法是存在的，那就是線性穩定性分析方法。它的主要思想是，在非線性微分方程組定態解的小鄰域，把非線性微分方程組線性化，用線性微分方程組來研究定態解對小擾動的穩定性。
因為線性微分方程組是容易求解的，而且在定態解的小鄰域，用線性微分方程組近似取代非線性微分方程組是合理，所以線性穩定性分析方法既簡單又有效，是一種常用的穩定性分析方法。
首先通過乙個簡單的例子來了解線性穩定性分析的思路。設有一非線性微分方程
1.2.1)
在定態x0，，有
1.2.2)
由此得到定態解
1.2.3)
設是定態附近的小擾動，即
1.2.4)
1.2.5)
把方程(1.2.4)代入方程(1.2.1)，有
1.2.6)
考慮到定態方程(1.2.2)，並忽略小擾動的二次項，得
1.2.7)
其中1.2.8）
是線性化係數。方程(1.2.7)是非線性方程(1.2.1)的線性化方程，容易求出它的解為
其中是初始擾動。
討論：定態解的穩定性取決於的符號。（1）如果<0，定態解附近的擾動會隨時間指數衰減，最後回到該定態，說明這個定態是穩定的；（2）如果》0，定態附近的擾動會隨時間指數增加，最後離開這個定態，表明該定態是不穩定的。
對於定態，，是穩定的；
對於定態，，是不穩定的。
圖1.1 方程(1.2.2)的定態解的穩定性
我們可以很容易求得方程(1.2.1)的精確解析解(為一雙曲函式)
1.2.9)
對於不同的初始條件，可以得到一系列的曲線，它們隨時間的演化行為如圖1.1所示，曲線族趨於x01＝1，離開x02＝-1。這證明我們採用線化方程得到的定性結論是正確的。
上述例子雖然簡單，但具有一般性，數學家對此作了證明，並形成線性穩定性定理。
設有非線性方程組
1.2.10)
並設是定態解附近的小擾動，即
1.2.11)
非線性方程組(1.2.10)在定態解附近的線性化方程為
1.2.12)
定理如果線性化方程組(1.2.12)的零解()是漸近穩定的，則非線性方程組(1.2.10)的定態解也是漸近穩定的；如果零解是不穩定的，則定態解也是不穩定的。
線性穩定性定理保證了利用線性的方法來研究非線性方程定態解穩定性的有效性。利用線性穩定性定理來研究非線性方程定態解穩定性的過程稱為線性穩定性分析。這種分析方法在處理實際問題中經常被用到。
值得提及的是，線性穩定性定理只是對線性化方程的零解是漸近穩定的或是不穩定的情形給出了結論，而對於零解是lyapunov穩定的並不是浙近穩定的情形沒有給出任何資訊。這在下節會給予討論。
1.3奇點分類和極限環
現在我們考慮只有兩個狀態變數(x，y)的非線性動力系統，即
1.3.1)
現在相空間變為分別以x和y為座標軸的二維相平面。如果方程(1.3.1)的解存在且唯一，那麼它的解在相平面上就表現為一條線。軌線的斜率是
1.3.2)
只要和不同時為零且連續可微，軌線的斜率就是唯一的，它意味著軌線不相交。如果軌線在相平面中某一點相交，則這一點的斜率就不是唯一的。換句話說，數學上的解的存在與唯一性定理要求相空間中的軌線不能相交。
如果和同時為零，即
1.3.3)
則有1.3.4)
這表明軌線的斜率不唯一。我們把在相平面中使和同時等於零的點稱為奇點。在相平面上除奇點之外的所有其他點都叫做正則點。
根據方程(1.3.3)我們知道，奇點就是非線性方程組(1.
3.1)的定態解。因此，我們通過研究相空間中奇點的穩定性就可以知道定態解的穩定性。
只要我們弄清楚奇點附近軌線的分布及其流向，就能對奇點的穩定性作出判斷。
為此我們設x(t)和y(t)是奇點附近的小擾動，即
1.3.5)
， 把非線性方程組(1.3.1)的右邊在奇點附近按taytor級數展開，並保留線性項，有
， (1.3.6)
根據定態方程(1.3.3)，方程(1.3.6)式變為
1.3.7)
其中1.3.8)
下標0表示在定態取值。方程(1.3.7)可以方便地寫為矩陣形式
1.3.9)
由方程(1.3.9)的線性結構，它允許有如下的形式解
1.3.10)
這樣的解稱為簡正模。把方程(1.3.10)代入(1.3.9)可以得到對 ()為一階的齊次代數方程組
1.3.11)
這個方程組具有非零解的條件為
1.3.12)
即1.3.13)
其中1.3.14)
方程(1.3.13)稱為線性化方程組(1.3.9)的特徵方程，稱為線性化方程組的特徵值。
特徵方程(1.3.13)是乙個一元二次方程，它允許有兩個不同的特徵根和，即
1.3.15)
這時線性化方程組(1.3.9)有兩組如下形式的線性無關解
1.3.16)
其中和分別是方程組(1.3.11)係數矩陣()的特徵值和對應的特徵向量。這樣，線性化方程組(1.3.9)的一般解應是兩個線性無關解的線性組合，即
1.3.17)
其中和由初始條件確定。
從方程(1.3.15)可以看到，特徵值(i＝1，2)可能為複數，而奇點(x0，y0)的穩定性只取決於特徵值實部的符號。
由此可以根據方程(1.3.17)直觀地得到如下穩定性判據：
(a)如果兩個(i＝l，2)，則奇點(x0，y0)是漸近穩定的；
(b)如果至少有乙個(＝1或2)，則奇點(x0，y0)是不穩定的；
(c)如果至少有乙個(＝1或2)，而另乙個(＝2或1)，則奇點(x0，y0)是lyapunov穩定的，而不是漸近穩定的。我們稱這種情況為臨界穩定性。
第10章動力學分析介紹
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