ref：
1. 馮康等編，數值計算方法，國防版。
2. 何君毅，工程結構非線性問題的數值解法，國防工業版。
3. 王德人編，非線性方程組解法與最優化方法，高教版
4. 李岳生編，數值逼近，人民教育出版社。
緒論一． 非線性問題的廣泛性
工程中的非線性問題是普遍存在的。嚴格地講，工程中幾乎絕大多數複雜問題都具有非線性本質或呈現出非線性現象，僅是在一定的條件之下，我們可將其理想化或簡化為線性問題。因此，曾有學者認為：
在物質世界中，無論是宇觀、巨集觀和微觀，都是由一定層次結構和功能的非線性系統構成的，也即自然界和現實生活中幾乎所有系統都是非線性的。事實上，正是由於非線性的存在和作用，才孕育出大自然的五彩繽紛、萬千氣象和人類社會的風雲變幻，人類思維的錯綜差異。
1. 數學中的非線性問題：
1）.代數插值
2）.曲線曲面擬合
3）.非線性回歸
4）.高次代數方程和超越方程
5）.非線性方程組
6）.非線性常微分方程（組）
7）.非線性偏微分方程（初值、邊值）
8）.非線性規劃（無約束、約束）。
2.機械與結構工程中的非線性問題：
1）.柔性可變結構的計算（柔索計算）
2）.材料非線性問題（彈塑性力學，塑性力學，蠕變力學）
3）.複合材料力學
4）.幾何非線性問題（大變形問題，屈曲問題）
5）.邊界（接觸）非線性
6）.非線性動力學（定則振動，隨機振動）柔性多體系統動力學
7）.非線性系統控制問題
8）.傳熱學中的非線性問題
9）.流體力學和空氣動力學中非線性問題
等等二． 非線性問題（系統）的特點
儘管工程中的非線性問題涉及到許多學科，內容不盡相同。但它們都具有如下非線性問題的共同特點：
1. 系統最終的控制方程均為非線性方程（代數、常微分、偏微分）
2. 線性迭加原理在整體上不成立，最多隻在只區域性近似成立
例如：基於線性迭加原理的力法方程，杜哈美積分（卷積），振型迭加法等等，在整體上均不成立。對於非線性問題應用線性問題中的這些求解方法將導致不真實甚至不合理的結果。
3. 問題一般無解析解（除一元二次方程外）
即適用於線性問題的解析法對於非線性問題無能為力，故通常均需採用數值方法或其它近似方法求解。
4. 非線性問題的理論和方法僅在一定範圍內適用
對於非線性系統一般都具有開放性、對稱破缺、不可逆性、遍歷性和不確定性。
由於非線性問題的上述特徵，使得對於非線性問題，人們不能再指望並且也不會存在有像牛頓力學那樣具有普遍性和完備性的理論，非線性問題中幾乎所有的理論和方法都不能也不可能包打天下，都將具有一定的適用範圍，即使像數學公理體系也都是不完備的。
三. 非線性問題研究的歷史與現狀
歷史：工程中的非線性問題早在19世紀中葉就引起人們的關注，並引起了一些著名數學家，力學家的研究興趣，經過他們的不懈努力，取得一些了不起的研究成果，例如，19世紀以**學者龐加箂為代表的學派，針對求解非線性振動方程提出了攝動方法、等效線性化方法、相平面方法等等，至今仍為求解擬非線性微分方程的基本方法之一。又例如：
針對於求解場問題（電磁場、溫度場、流場、應力場）產生於20世紀早期的有限差分法和變分法等等，至今仍在發揮著重要的作用。
然而，由於當時科技水平的限制和計算工具的匱乏與落後，非線性問題的解決尚沒有革命性和根本性的突破。許多非線性問題仍被人們視若「難題」，「硬骨頭」和「攔路虎」，使人望而生畏、束手無策，。鑑於此，工程師在分析、計算和設計中不得不迴避或繞道而行。
，可以說，在相當長的歷史階段，科學家和工程師面對非線性科學向人們提出的巨大挑戰，在不懈的努力，焦急的徘徊。
現狀：經過幾代科學家多年的努力，特別是自20世紀60年代以來，有限差分，有限元和邊界元法等數值方法的出現和發展，以及高速大容量的電子計算機的問世和普及應用，為非線性問題的解決提供了必要的計算手段和計算工具，使人們對非線性問題的研究如虎添翼，研究工作取得了長足的進步。今天不僅已可對許多非線性問題進行定性分析，而且定量的數值分析和模擬亦成為可能。
近年來，科學家們對非線性問題的研究掀起了乙個空前的高潮。非線性問題成為各學科中的熱點課題，研究**與日俱增，學術研討會也越來越多。可以斷言，隨著非線性「普適性」和新的數學分析方法的誕生，使得許多人們長期認為是非常困難的非線性問題的求解不再是「天方夜譚」。
如：流體力學中的湍流問題，分岔和分形問題，混沌問題，神經網路系統問題等等。充分顯示出非線性科學的巨大潛力和重要意義。
儘管在近十多餘中，非線性科學的研究有了空前迅速的發展，但目前對非線性問題仍然缺乏系統的處理方法和分析框架，對於一般非線性發展方程還沒有線性問題中fourier交換那樣類似的工具。完全地攻克非線性這一科學道路上的超級堡壘，是整個科學界進入21世紀將面臨的一項巨大挑戰，也是未來整個自然科學和工程領域研究的前沿工作。
四本課程學習主要內容
ch1.代數插值
ch2.曲線曲面擬合
ch3.非線性方程的數值解法
ch4.非線性方程組的數值解法
ch5.非線性規劃問題
ch6.非線性振動
chapter1 代數插值
§1.1 概述
1. 問題的背景：
（1）.工程上：在機械製造、幾何造型中，常常給定一批離散樣點，要求利用數學的方法，自動作出一條光滑的曲線（甚至曲面），使這一曲線（面），通過這些樣點，以滿足設計要求或據此進行放樣機械加工。
例如：賦形拋物線，汽車、飛機的曲面外殼等等。
（2）.數學上：在用數值方法求解有關連續函式問題時，往往要根據已知離散點的資料插補中間點。
如：用差商代替微商；有限元中求非節點處的位移和應力等等。與此相關的一類數學問題即是插值問題。
2. 問題的提法
通俗的講，所謂插值就是在給定的樣點間再插進一些所需要的中間值。如何進行插值，其基本思想是：設法構造某個簡單函式y=f（x），作為樣點函式的近似。
其數學提法是：給定一組樣點： ，確定乙個光滑的連續的函式y=f（x），使其曲線通過所有的樣點，即滿足：
如圖示滿足上述要求的函式y=f(x)稱為插值函式，它是待求的函式。
構造f（x）的基本要求：
（1）函式形式為便於計算的「初等」函式，如：多項式函式、分段多項式函式；
（2）函式的自由度（即待定引數個數，例如多項式的係數）數目應與要求的插值條件（*）個數相等。
§1.2多項式插值
為以下討論方便，統一約定如下：
（i=0,1,2····）——節點
f（x）——某個原函式，其在節點處的函式值為：
一階導數值為：；
f（x）———待求的插值多項式函式，其次數等於插值條件數；
e（x）=f（x）-f（x）為原函式與插值函式的插值餘項（絕對誤差）
[x0,x1,….]=max-min，表示含有點x0, x1,….的最大區間，即以上端點max和下端點min構成的區間。
一． 線性插值（兩點一次插值）
求過兩個樣點（x0，f0），（x1，f1）的線性插值函式y=f（x）。
由相似三角形關係，插值函式f在[x0, x1]任一點x處的函式值為: ——點斜式
經整理得： （1.1b）——對稱式
（1.1a）和（1.1b）即為所求得一次多項插值函式，共有兩項。可見線性插值函式有兩種表達形式，它們表述的是同一線性函式，在理論分析時常採用對稱式，但在實際計算中則常用點斜式。
為分析表達統一方便起見：
令1.2)
這是兩個一次多項式函式。
顯然有1.3)
即稱，為線性插值的基函式。
從而（1.1b）式給出的線性插值函式可由基函式表為：
（1.1c）
此式表明：插值函式為基函式的線性組合。
插值公式的特點：
觀察點斜式（1-1a），其中的差商項：
當時，若，則有；
從而（1-1a）的極限形式為：
此結果表明：一次插值函式f(x)的極限形式恰為原函式f（x）在節點x0處的一階泰勒展開式，其幾何上的解釋為：當節點x1趨向x0時，插值函式f(x)將逼近原函式f（x）在點（x0，f0）處的切線。
由微分中值定理，線性插值函式的餘項（與原函式f（x）的絕對誤差）為：
（1.4）
記——x的二次多項式。則：
可見線性插值函式f(x)對於原函式數值具有二階精度，直到一階導數值亦有逼近性。也就是說，若原函式f（x）為線性函式，則插值餘項，即插值f(x)就是原函式f（x）。
二. 拋物線插值（三點二次插值）
線性插值僅僅利用兩個樣點的資訊，精度自然不高。為改善精度，可採用三點兩次插值。
即求過三個樣點（x0，f0），（x1，f1），（x2，f2）的拋物線二次函式f（x）（即二次多項式函式），見圖。
為二次多項式函式，其根據前的討論，它可表為基函式的線性組合形式，即，故設：
（1.5）
式中為二次插值的基函式（待求），由基函式應滿足的條件為：
（正交規範條件） （1.6）
這樣的基函式不難直接構造，現以為例說明之。
欲使滿足，顯然中應含有和兩個因子，故令：
1.7）
其中：為待求係數。
由條件，可解得：
代入（1-7）中，可得基函式
1.8a）
這是乙個兩次的多項函式。類似可求得：
1.8b）
1.8c）
的圖形：
將（1.8a~c）代入（1.5）中，即可得所求得二次插值多項式函式y=f(x)。顯然此函式滿足所有插值條件：
由微分中值定理，二次插值函式的餘項（與原函式f（x）的絕對誤差）為：
1.9）
記——x的三次多項式。則：
即二次插值多項式函式f(x)具有三階精度，且直到二階導數都有逼近性，即若f（x）為二次函式，則三點二次插值函式的插值餘項為零。
例1， 利用100,121,144的平方根求（=10.7238*）
解： 樣點為：x0=100，f0=10
x1=121，f1=11
x2=144，f2=12
插值點：x=115，求插值函式值f（115）
代入插值公式（1.5）中，即有
可見：因原函式為二次函式，故二次插值函式f(x)與原函式的誤差為零（具有4位有效數字的精度）。
以上兩種插值都是僅以節點的函式值f0，f1….為依據構造插值函式的，即所求得的插值函式f（x）與原函式f（x）僅在樣點處函式值彼此相等，而導數值可以不同。這種插值即為拉格朗日（lagrange）插值問題。
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