斜拉橋概述：
斜拉橋是一種由塔、索、梁三種基本構件組成的高次超靜定結構體系。它是一種橋面體系以加勁梁受壓（密索）或受彎（稀索）為主、支承體系以斜拉索受拉及橋塔受壓為主的橋梁。其結構特點是從索塔上用若干斜拉索將梁吊起，使主梁在跨內增加了若干彈性支點，從而降低主梁截面彎矩，減輕自重，提高了梁的跨越能力；同時，斜拉索拉力的水平分力對主梁起著軸向預應力作用，增強了主梁的抗裂效能。
其結構體系形式多樣，按塔的數量，可分為單塔、雙塔和多塔；按索面可分為單索面和雙索面；按塔、梁和墩的相互聯結方式，可分為塔墩固結、塔梁固結、塔梁墩固結和漂浮體系等。最典型的孔跨布置形式為雙塔三跨式與獨塔雙跨式。
斜拉橋幾何非線性分析理論：
非線性問題可以分為三類：幾何非線性問題、材料非線性問題以及接觸問題。
幾何非線性問題是指大位移問題，幾何運動方程為非線性。在絕大多數大位移問題中，結構內部的應變是微小的。因為應變是微小的，對線性問題一般是根據變形前的位置來建立平衡方程。
但對幾何非線性問題，由於位移變化產生的二次內力不能忽略，荷載一變形關係為非線性，此時疊加原理不再適用，整個結構的平衡方程應按變形以後的位置來建立。
幾何非線性理論一般可以分成大位移小應變即有限位移理論和大位移大應變理論即有限應變理論兩種。
實際上，只有在材料出現塑性變形時或在結構上應用較少的類似於橡膠那樣的材料才會遇到大的應變。對於斜拉索這樣的鋼材，在設計荷載下不會出現大的應變。因此，斜拉橋的幾何非線性問題是屬於大位移小應變問題。
而材料的應力應變關係是線性的。橋梁工程中的柔性橋梁結構的恆載狀態確定問題；柔性結構的恆、活載計算問題；橋梁結構的穩定分析問題等均屬於幾何非線性問題範疇。
斜拉橋的結構分析與傳統的連續梁和剛構橋的結構分析相比，幾何非線性的影響顯著，特別是特大跨徑的斜拉橋，幾何非線性效應尤為突出。 斜拉橋幾何非線性影響因素概括為3個方面：
（1）垂度效應：斜拉索自重垂度引起的拉索拉力與變形之間的非線性關係；
（2）大變形效應：大位移產生的結構幾何形狀變化引起的幾何非線性效應；
（3）彎矩和軸力的組合效應：由於斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不僅承受彎矩而且還將承受巨大的軸向力，在主梁和索塔變形過程中，由於軸向力和彎矩相互影響，而產生所謂的梁-柱效應（p-δ效應），使整個斜拉橋結構表現出幾何非線性行為。
1、垂度效應
斜拉索總是存在自重的，在自重作用下一般呈懸垂狀態，它不能簡單地按一般拉伸桿件來計算，而應考慮垂度影響。所以在兩端拉力的作用下，斜拉索的變形由兩部分組成：一部分是斜拉索材料應變引起的彈性變形；另一部分是斜拉索自重引起的幾何形狀的改變，即自重垂度。
尤其是施工階段，由於拉力不大，垂度影響較大。
索受力後發生的彈性應變受材料的彈性模量控制。索的垂度變化與材料特性無關，完全是幾何變化的結果，受索內張力、索的長度和重力控制。抗拉剛度隨軸力變化而變化，索的拉力若為零或受壓，則抗拉剛度變為零。
垂度變化與索拉力不成線性關係。在荷載作用下，索中各股鋼絲作相對運動，重新排列的結果使橫截面更為緊密。這種變形引起的伸長叫構造伸長，大部分是永久持續的，它發生在一定的張力以下，所以，可在纜索的製作過程中，採用預張拉的辦法予以消除。
而非永久性的伸長可以通過折減的有效彈性模量來考慮。
2、大變形效應
斜拉橋是一種柔性的懸掛結構，其剛度較小，在正常的設計荷載作用下，其上部結構的幾何位置變化就非常顯著，因此，平衡方程不再是線性關係，小變形假設中的疊加原理也不再適用。因此在計算應力及反力時需要計入結構位移的影響，也就是位移理論。由於結構大位移的存在，荷載與位移呈非線性關係，力的疊加原理也不再適用。
整個結構在不同階段的平衡方程，應該由變形後的位置來建立，再通過不斷地修正節點座標，在新的位置建立新的平衡方程，如此迴圈，最後找到乙個變形以後的平衡位置以及相應的內力。
結構大位移的存在會產生與荷載增量不成正比的附加應力。附加應力的計算可以採用逐步逼近的方法。根據結構初始幾何狀態，採用線性分析的方法求出結構內力和位移，使用帶動座標的混合法對幾何位置加以修正，這時各單元的剛度矩陣也相應有所變化。
利用變形後的剛度矩陣和結點位移求出杆端力。由於變形前後剛度不同，產生了結點不平衡荷載，將此不平衡荷載作為結點外荷載作用於結點上再次計算結構位移，如此迭代直至不平衡荷載小於允許範圍為止。每個荷載增量載入期間假設剛度矩陣為一常數，即增量區間的左端點處對應的剛度矩陣。
求解平衡方程，得出該荷載增量下的位移增量，由此可以在該荷載增量區間末對結構的幾何位置進行修正，用於下乙個荷載增量計算。這樣，每次荷載增量下的結構剛度矩陣和杆端力都與當時的幾何位置相對應，雖然在各荷載增量載入過程中作了線性假設，但只要荷載分得足夠細，迭代次數足夠多，就可以用這種分段線性來代替大位移引起的非線性。
3、彎矩和軸力的組合效應
斜拉橋的斜拉索拉力使其它構件處於彎矩和軸向力組合作用下，這些構件即使在材料滿足虎克定律的情況下也會呈現非線性特性。構件在軸向力作用下的橫向撓度會引起附加彎矩，而彎矩又影響軸向剛度的大小，此時疊加原理不再適用。但如果構件承受著一系列橫向荷載和位移的作用，而軸向力假定保持不變，那麼這些橫向荷載和位移還是可以疊加的。
因此，軸向力可以被看作為影響橫向剛度的乙個引數，一旦該引數對橫向的影響確定下來，就可以採用線性分析的方法進行近似計算。
有兩種方法可以處理這種由壓一彎共同作用引起的非線性問題：一是引入穩定函式，得到梁體單元剛度矩陣元素的修正係數，然後用修正係數在迭代中不斷地對小位移線彈性剛度矩陣進行修正；或者在計算單元剛度矩陣時考慮幾何剛度矩陣的影響。二是從實際的應變出發列出壓彎共同作用的總應變方程，通過虛功原理，得到梁體單元的整體剛度矩陣。
斜拉橋的幾何非線性有限元平衡方程，有全量列式和增量列式兩種方法。其實質都是非線性方程。目前，解非線性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。
幾何非線性有限元方法：
1、完全的拉格朗日列式法（t.l.formulation）
在整個分析過程中，以t=0時的位形作為參考，且參考位形保持不變，這種列式稱為完全的拉格朗日列式（t.l法）
對於任意應力-應變關係與幾何運動方程，杆系單元的平衡方程可由虛功原理推導得到：
式中各量分別為：應變矩陣，是單元應變與節點位移的關係矩陣；單元的應力向量；杆端位移向量；v是單元體積分域，對t.l列式， 是變形前的單元體積域；單元杆端力向量；
直接按上式建立單元剛度方程並建立結構有限元列式，稱為全量列式法。在幾何非線性分析中，按全量列式法得到的單元剛度矩陣和結構剛度矩陣往往是非對稱的，對求解不利，因此多採用增量列式法。
將式（1）寫成微分形式變形後得：
這就是增量形式t.l列式的單元平衡方程。
式中為：單元彈性剛度矩陣、單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣、初應力剛度矩陣、三個剛度矩陣之和，稱為單元切線剛度矩陣。
2、修正的拉格朗日列式法（u.l.formulation）
在建立t+t時刻物體平衡方程時，如果我們選擇的參照位形不是未變形狀態t=0時的位形，而是最後乙個已知平衡狀態，即本增量步起始的t時刻位形為參照位形，這種列式法稱為修正的拉格朗日列式法（u.l列式）。
增量形式的u.l列式結構平衡方程可寫成：
3、t.l列式與u.l列式的比較
t.l列式與u.l列式是不同學派用不同的簡化方程及理論匯出的不同方法，但是它們在相同的荷載增量步內其線性化的切線剛度矩陣應該相同，這一點已得到多個實際例題的證明。
t.l列式與u.l列式的不同點
比較內容 | t.l列式 | u.l列式 | 注意點
計算單剛的積分域 | 在初始構形的體積域內進行 | 在變形後的t時刻體積域內進行 | u.l列式必須保留節點座標值
精度 | 保留了剛度陣中所有線性與非線性項 | 忽略了高階非線性 | u.l列式的荷載增量不能過大
單剛組整合總剛 | 用初始時刻各單元結構總體座標系中的方向余弦形成轉換陣，計算過程不變 | 用變形後t時刻單元在結構總體座標中的方向余弦形成轉換陣，計算過程中不斷改變 | u.l列式中組集荷載向量也必須注意方向余弦的改變
本構關係的處理 | 在大應變時，非線性本構關係不易引入 | 比較容易引入大應變非線性本構關係 | u.l方法更適用於混凝土徐變分析
從理論上講，這這兩種方法都可以用於各種幾何非線性分析。t.l列式適用於大位移、中等轉角和小應變的幾何非線性問題，而u.
l列式除了適用於上述問題外，還適用於非線性大應變分析、彈塑性徐變分析，可以追蹤變形過程的應力變化。目前，橋梁非線性分析一般都採用u.l列式法。
幾何非線性方程組的求解：
1、 增量法
增量法指荷載以增量的形式逐級加上去，在每個荷載增量作用過程中假設結構的剛度矩陣是不變的，在任一荷載增量區間內結點位移和杆端力都是由區間起點處的結構剛度求出，然後利用得到的結點位移和杆端力求出相對於增量區終點變形後位置上的結構剛度，作為下乙個荷載增量起點的結構剛度。在任一荷載增量i級作用下的平衡方程為：
式中各量為：荷載增量區間起點處得結構整體剛度矩陣；荷載增量引起的結點位移變化量；結點荷載增量的大小。
荷載增量法就是把荷載與位移之間的曲線關係用被劃分足夠小的直線段來代替。因此，對於增量法而言，荷載增量的劃分大小，直接影響到結果的精度，如果荷載增量取得足夠小，誤差雖然是累積的，但還是可以收斂到工程允許的範圍內。但是對於荷載增量的大小卻不易掌握。
2、 迭代法
迭代法是將整個外荷載一次性加到結構上，結點位移用結構變形前的切線剛度求得，然後根據變形後的結構計算結構剛度，求得杆端力。由於變形前後的結構剛度不同，產生結點不平衡荷載，為了滿足結點平衡，將這些不平衡荷載作為結點荷載作用於各結點上，計算出相對於變形後的結點位移量，反覆迭代過程，直至不平衡荷載小於允許值為止。
混凝土結構非線性分析
姓名 季敏 學號 2013022008 手機號 182 第2章混凝土強度準則 2.1 混凝土破壞曲面的特點及表述 2.1.1 混凝土的破壞型別及其特點 混凝土在複雜應力狀態下的破壞比較複雜，如果從混凝土受力破壞機理來看，有兩種最基本的破壞狀態，即受拉型和受壓型。受拉型破壞以直接產生橫向拉斷裂縫為特徵...
非線性理論與方法
ref 1.馮康等編，數值計算方法，國防版。2.何君毅，工程結構非線性問題的數值解法，國防工業版。3.王德人編，非線性方程組解法與最優化方法，高教版 4.李岳生編，數值逼近，人民教育出版社。緒論一 非線性問題的廣泛性 工程中的非線性問題是普遍存在的。嚴格地講，工程中幾乎絕大多數複雜問題都具有非線性本...
非線性控制理論和方法
非線性系統的穩定性分析理論主要有絕對穩定性理論 李亞普諾夫穩定性理論和輸入輸出穩定性理論。絕對穩定性的概念是由前蘇聯學者魯里葉與波斯特尼考夫提出的,其中最有影響的是波波夫判據和圓判據,但難以推廣到多變數非線性系統。李亞普諾夫穩定性理論是 天才的數學家李亞普諾夫院士於 1892 年在他的博士 裡提出的...