課程中文名稱：高等數學課程英文名稱：higher mathematics
課程編號： 110000160 適用專業：工科各專業
學時數： 96 學分數：6
應開課學期： 第一學期執筆者： 張波
審核人： 王振輝批准人：鄧繼恩
編寫日期： 2010.08.01修訂日期：2013.04.16
一、課程的性質和目的
高等數學課程是高等工業學校各專業學生的一門必修的重要基礎理論課，他是為培養我國社會主義現代化建設所需要的高質量專門人才服務的。通過本課程學習要使學生掌握高等數學的基本概念、基本理論和基本運算，在傳授知識的同時，要通過各個教學環節逐步培養學生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，還要特別注意培養學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。
二、課程教學內容
本課程本學期主要講授「函式、極限、連續」，「一元微分學及其應用」，「一元積分學及其應用」，「無窮級數」四個方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習後繼課程和進一步獲取數學知識奠定必要的數學理論基礎和基本計算能力。微積分是從量的側面來研究事物運動變化規律的一種基本的數學方法，函式是微積分的研究物件，極限是建立微積分理論和方法的基礎，連續性是通過極限所揭示的函式的一種基本變化性態，連續函式是微積分所討論的函式的主要型別。本課程的重點是微積分的理論。
以下分章闡述。
第一章函式、極限、連續（20學時）
知識要點：函式、極限、連續是高等數學中最基本的概念，貫穿微積分學得始終。函式是高等數學的研究物件，整本教材都在用極限工具研究函式在區域性和整體上的性質，其中連續就是函式最基本的性質之一，也是學習微積分理論必須具備的理論基礎。
（一）函式: 集合及其運算，實數集的完備性與確界存在定理理論，對映與函式的概念，復合對映與復合函式的概念，初等函式與雙曲函式的概念。
（二）極限：數列極限的概念，收斂數列的性質，數列收斂的判別準則，函式極限的概念，函式極限的性質，兩個重要極限及函式極限的存在準則，無窮小量與無窮大量的概念及其階的比較與等價代換。
（三）連續：函式的連續性概念與間斷點的分類，連續函式的運算性質與初等函式的連續性，閉區間上連續函式的性質，函式一致連續性的概念。
目標要求：
（一）函式：理解函式的概念，會計算函式的定義域、表示式及函式值，掌握函式的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函式的運算法則，理解初等函式的概念。
（二）極限：理解數列極限與函式極限的概念，熟練掌握、、的語言描述，理解極限存在的性質，掌握極限的判別準則，熟練掌握等價無窮小量的比較。
（三）連續：理解函式在一點連續與間斷的概念，理解函式在一點連續與極限存在關係，掌握函式的間斷點型別的判斷方法掌握在閉區間上連續函式的性質，能夠運用介值定理與零點定理推證一些簡單命題。
採用課堂教學，20學時。
第二章一元函式微分學及其應用（28學時）
知識要點：微分理論就是利用極限理論從區域性上對函式變化性態進行的更深入的研究，主要包括：導數與微分的概念和計算、微分中值定理與taylor公式以及函式性態（單調性、極值與凸性等）的研究。
（一）導數：導數的定義，導數的幾何意義，可導與連續的關係，求導的基本法則（導數的有理運算法則、復合函式的求導法則、反函式的求導法則、高階導數、隱函式求導法、由引數方程確定的函式的求導法則）。
（二）微分：微分的概念，微分的運算法則，高階微分，微分在近似計算中的應用。
（三）微分中值定理、taylor中值定理及其應用：函式的極值的定義及其取得極值的必要條件，三個微分中值定理的內容及其證明方法，洛必達法則的定義及其計算極限的應用，taylor公式的定義及兩種餘項的寫法，幾個初等函式的麥克勞林公式及taylor公式的應用。
（四）函式性態的研究：用導數判斷函式的單調性的方法，判斷函式極值與最值的方法和步驟，函式凸性的概念、判別方法及拐點的定義。
目標要求：
（一）導數：理解導數的概念及其幾何意義，理解可導性與連續性的關係，了解導數的物理意義，學會計算曲線上一點處的切線方程與法線方程；熟練掌握基本初等函式的導數基本公式、四則運算法則以及復合函式的求導方法，會計算反函式的導數，掌握隱函式的求導法、指數求導法，對數求導法以及由引數方程所確定的函式的求導方法，理解高階導數的概念，學會計算簡單函式的階導數。
（二）微分：理解函式的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關係，掌握函式的一階微分計算方法；掌握一階微分的形式不變性，了解微分在近似計算中的應用，了解高階微分。
（三）微分中值定理、taylor中值定理及其應用：理解羅爾中值定理、理解拉格朗日中值定理和柯西中值定理及其它們的幾何意義；理解泰勒定理，熟練掌握利用洛必達法則求、，、、、和型未定式的極限方法。
（四）函式性態的研究：掌握利用導數判定函式的單調性及求函式的單調增、減區間的方法，會利用函式的增減性證明簡單的不等式；理解函式極值的概念，掌握求函式的極值和最值的方法與步驟，並且會解簡單的應用問題；掌握判定曲線的凸性及判斷曲線的拐點的方法。
採用課堂教學，28學時。
第三章一元函式積分學及其應用（26學時）
知識要點：與微分學不同，積分是研究函式整體性態的，在分析例項的基礎上，建立積分的概念、存在條件和性質；通過微積分基本定理和牛頓-萊布尼茨公式，闡明微分與積分的聯絡，將定積分的計算轉化為求被積函式的原函式或不定積分；介紹兩種基本積分法——換元法與分部積分法；講解應用定積分解決實際問題的常用方法——微分法；另外，還介紹兩類反常積分方面的內容。
（一）定積分：定積分的定義，定積分的幾何意義，定積分的存在條件（可積的必要條件與充分條件），定積分的性質：線性性質、單調性、對區間的可加性、乘積性質、積分中值定理。
（二）微積分基本公式：原函式的概念，牛頓-萊布尼茨公式，微積分第
一、第二基本定理，不定積分的概念。
（三）兩種基本積分法：換元積分法（不定積分的兩個換元法則與定積分的換元法），不定積分與定積分的分部積分法。
（四）定積分的應用：建立積分表示式的微元法，定積分在幾何中的應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體體積，定積分在物理中的應用：
變力作功、引力、壓力等。
（五）反常積分：無窮區間上的積分與無界函式的積分的概念，兩類反常積分的審斂準則。
目標要求：
（一）定積分：理解定積分的概念與幾何意義，了解定積分的存在條件，熟練掌握與應用定積分的性質。
（二）微積分基本公式：掌握微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）與微積分兩個基本定理。了解原函式的概念，理解變上限的定積分是積分上限的函式，掌握對變上限定積分求導數的方法，熟練掌握不定積分的基本原理和運算法則。
（三）兩種基本積分法：掌握不定積分與定積分的兩類換元積分準則與分部積分法。
（四）定積分的應用：掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函式的平均值等）。
（五）反常積分：理解無窮區間和無界函式的兩類反常積分的概念，掌握其計算方法，掌握運用審斂準則判斷其斂散性。
採用課堂教學，26學時。
第四章無窮級數（22學時）
知識要點：無窮級數是數學分析的乙個重要內容，是表示函式、研究函式性質和進行近似計算的有力工具，本章主要研究常數項級數的概念與審斂準則；函式項級數的處處收斂和一致收斂性；冪級數的收斂性與函式展開為冪級數以及將週期函式展開為fourier級數的問題。
（一）常數項級數：常數項級數的概念、性質與收斂原理，正項級數的審斂準則（兩模擬較準則、積分準則、達朗貝爾準則、柯西準則），變號級數的概念與審斂準則（萊布尼茲準則、絕對收斂準則）。
（二）函式項級數：函式項級數的概念，函式項級數的處處收斂性，函式項級數的一致收斂性概念與判別方法（柯西一致收斂原理、m判別準則），一致收斂級數的性質（和函式的連續性、和函式的可積性、和函式的可導性）。
（三）冪級數：冪級數的概念及收斂半徑的概念，阿貝爾定理判斷冪級數收斂，冪級數的運算性質（四則運算、內閉一致收斂性），函式展開成冪級數（泰勒級數、麥克勞林級數）。
（四）fourer級數：週期函式與三角級數，三角函式系的正交性與fourer級數的概念，週期函式的fourer展開與狄利克萊定理，一般週期函式的fourer展開。
目標要求：
（一）常數項級數：理解常數項級數的概念、性質與收斂原理，熟練掌握正項級數的審斂準則（兩模擬較準則、積分準則、達朗貝爾準則、柯西準則），掌握幾何級數和p一級數的收斂性，熟練掌握變號級數的概念與審斂準則（萊布尼茲準則、絕對收斂準則）。
（二）函式項級數：理解函式項級數的概念與函式項級數的處處收斂的定義，掌握函式項級數的一致收斂性概念與判別方法（柯西一致收斂原理、m判別準則），了解一致收斂級數的性質（和函式的連續性、和函式的可積性、和函式的可導性），了解函式項級數的收斂域及和函式的概念。
（三）冪級數：理解冪級數的概念及收斂半徑的概念，掌握阿貝爾定理判斷冪級數收斂區間，了解冪級數的運算性質（四則運算、內閉一致收斂性），熟練掌握函式展開成冪級數（泰勒級數、麥克勞林級數）的方法，會計算一些簡單冪級數的收斂域及和函式，了解冪級數在近似計算上的簡單應用。
（四）fourer級數：了解週期函式與三角級數，理解三角函式系的正交性與fourer級數的概念，了解函式展開為傅利葉(fourier)級數的狄里克萊(dirichlet)條件，會將函式展開為傅利葉級數。
採用課堂教學，22學時。
三、課程教學的基本要求
1.本課程以課堂講授為主，共安排內容講授80學時，習題課16學時。
高等數學教學大綱
高等數學 一 教學大綱 課程性質 專業必修 課程編號 80010049 課程名稱 高等數學 一 授課物件 工科類本科各專業一年級學生 總學時 96 學分數 6 適應專業 非數學專業的理工類本科專業 先修課程 無 1 課程教學目的和任務 高等數學 是研究客觀世界數量關係和空間形式的科學基礎理論。它是本...
高等數學上教學大綱
經管應用數學教學大綱 一 課程性質與任務 一 本課程的性質 經管應用數學是高等學校經管類各專業重要的基礎課 工具課，本著 打好基礎 兼顧體系 服務專業 夠用為度 的原則確立本課程的性質與任務。高等數學不同於初等數學，它研究的是變數之間的關係。通過本課程的學習，學生系統地獲得微積分的基本知識，基本理論...
《高等數學二》教學大綱
二 課程的基本要求 1 正確理解下列基本概念和它們之間的內在聯絡 函式，極限，無窮小，連續，導數，微分，極值，不定積分，定積分，偏導數，全微分，條件極值，重積分，曲線積分，無窮級數，微分方程。2 正確理解下列基本定理和公式並能正確運用 極限的主要定理，羅爾定理和拉格朗日中值定理，泰勒展開式，定積分作...