一元二次方程
[, ]①只含有乙個未知數，並且②未知數的最高次數是2，這樣的③整式方程就是一元二次方程。
[, , ]
如何理解 「未知數的最高次數是2」：
①該項係數不為「0」；
②未知數指數為「2」；
③若存在某項指數為待定係數，或係數也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。
[, ]
例1、下列方程中是關於x的一元二次方程的是（ ）
abcd變式：當k時，關於x的方程是一元二次方程。
例2、方程是關於x的一元二次方程，則m的值為
★1、方程的一次項係數是常數項是
★2、若方程是關於x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵寫出關於x的一元一次方程。
★★3、若方程是關於x的一元二次方程，則m的取值範圍是 。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）
a.m=n=2 b.m=2,n=1 c.n=2,m=1 d.m=n=1
使方程兩邊相等的未知數的值，就是方程的解。
利用根的概念求代數式的值；
[, ]
例1、已知的值為2，則的值為
例2、關於x的一元二次方程的乙個根為0，則a的值為 。
說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項係數的限制.
例3、已知關於x的一元二次方程的係數滿足，則此方程
必有一根為 。
說明：本題的關鍵點在於對 「代數式形式」的觀察，再利用特殊根「-1」巧解代數
式的值。
例4、已知是方程的兩個根，是方程的兩個根，
則m的值為 。
★1、已知方程的一根是2，則k為另一根是
★2、已知關於x的方程的乙個解與方程的解相同。
⑴求k的值；
⑵方程的另乙個解。
★3、已知m是方程的乙個根，則代數式
★★4、已知是的根，則
★★5、方程的乙個根為（ ）
ab 1cd
★★★6、若
①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
降次[, ]
※※對於，等形式均適用直接開方法
[, ]
例1、解方程0;
例2、解關於x的方程：
例3、若，則x的值為
下列方程無解的是（ ）
a. b. c. d.
: ※左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為「0」，
※如， ，
[, ]
例1、的根為（ ）
a bc d
例2、若，則4x+y的值為
變式1變式2：若，則x+y的值為
變式3：若，，則x+y的值為
例3、方程的解為（ ）
a. b. c. d.
例4、解方程：
例5、已知,則的值為
變式：已知,且,則的值為
★1、下列說法中：
①方程的二根為，，則②.③
④ ⑤方程可變形為
正確的有（ ）
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
★2、以與為根的一元二次方程是（）
ab．cd．★★3、⑴寫出乙個一元二次方程，要求二次項係數不為1，且兩根互為倒數
⑵寫出乙個一元二次方程，要求二次項係數不為1，且兩根互為相反數
★★4、若實數x、y滿足，則x+y的值為（ ）
a、-1或-2 b、-1或2 c、1或-2 d、1或2
5、方程：的解是
★★★6、已知，且，，求的值。
★★★7、方程的較大根為r，方程
的較小根為s，則s-r的值為
[, ]
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式
的值或極值之類的問題。
[, ]
例1、試用配方法說明的值恆大於0。
例2、已知x、y為實數，求代數式的最小值。
例3、已知為實數，求的值。
例4、分解因式：
★★1、試用配方法說明的值恆小於0。
★★2、已知，則 .
★★★3、若，則t的最大值為 ，最小值為 。
★★★4、如果,那麼的值為 。
[, ]
[, ],
[, ]
例1、選擇適當方法解下列方程：
⑷ ⑸
說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式
法；一般不選擇配方法。
例2、在實數範圍內分解因式：
（1）； （2）. ⑶
說明：①對於二次三項式的因式分解，如果在有理數範圍內不能分解，
一般情況要用求根公式，這種方法首先令=0，求出兩根，再寫成
=.②分解結果是否把二次項係數乘進括號內，取決於能否把括號內的分母化去.
[, , ]
⑴求代數式的值解二元二次方程組。
[, ]
例1、已知，求代數式的值。
例2、如果，那麼代數式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
說明：在運用降次思想求代數式的值的時候，要注意兩方面的問題：①能對已知式進
行靈活的變形；②能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數式的高次冪化為低次
冪，最後求解。
例4、用兩種不同的方法解方程組
說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再
消元。但都體現了一種共同的數學思想——化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已
知的問題.
[, ]
①定根的個數；
②求待定係數的值；
③應用於其它。
[, ]
例1、若關於的方程有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是 。
例2、關於x的方程有實數根，則m的取值範圍是( )
a. b. c. d.
例3、已知關於x的方程
(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數根；
(2)若等腰abc的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求abc的周長。
例4、已知二次三項式是乙個完全平方式，試求的值.
說明：若二次三項式為乙個完全平方式，則其相應方程的判別式
即：若，則二次三項式為完全平方式；反之，若
為完全平方式，則.
例5、為何值時，方程組
有兩個不同的實數解？有兩個相同的實數解？
★1、當k時，關於x的二次三項式是完全平方式。
★2、當取何值時，多項式是乙個完全平方式？這個完全平方式是什麼？
★3、已知方程有兩個不相等的實數根，則m的值是
★★4、為何值時，方程組
（1）有兩組相等的實數解，並求此解；
（2）有兩組不相等的實數解；
（3）沒有實數解.
★★★5、當取何值時，方程的根與均為有理數？
[, ]
例1、關於x的方程
⑴有兩個實數根，則m為
⑵只有乙個根，則m為
例2、不解方程，判斷關於x的方程根的情況。
例3、如果關於x的方程及方程均有實數根，問這兩方程
是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。
⑴「碰面」問題；⑵「複利率」問題；⑶「幾何」問題；
⑷「最值」型問題；⑸「圖表」類問題
[, ]
1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？
2、某小組每人送他人一張**，全組共送了90張，那麼這個小組共多少人？
3、北京申奧成功，促進了一批產業的迅速發展，某通訊公司開發了一種新型通訊產品投放
市場，根據計畫，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少，第三年比第二
年減少，該產品第一年收入資金約400萬元，公司計畫三年內不僅要將投入的總資
金全部收回，還要盈利，要實現這一目標，該產品收入的年平均增長率約為多少？（結
果精確到0.1，）
4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售，乙個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：
（1）當銷售價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。
（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，
銷售單價應定為多少？
5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，並以每一段鐵絲的長度為周長作成乙個正方形。
（1）要使這兩個正方形的面積之和等於17cm2，那麼這兩段鐵絲的長度分別為多少？
（2）兩個正方形的面積之和可能等於12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不
能，請說明理由。
（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？
6、a、b兩地間的路程為36千公尺.甲從a地，乙從b地同時出發相向而行，兩人相遇後，
甲再走2小時30分到達b地，乙再走1小時36分到達a地，求兩人的速度.
[, , ]
對於而言，當滿足①、②時，
才能用韋達定理。
[, ]
整體代入求值。
[, ]
例1、已知乙個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個直角三
角形的斜邊是（ ）
ab.3 c.6 d.
說明：要能較好地理解、運用一元二次方程根與係數的關係，必須熟練掌握、
、、之間的運算關係.
例2、解方程組：
說明：一些含有、、的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，
往往還可以利用根與係數的關係，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.
一元二次方程練習 全章
1.1建立一元二次方程模型 一 填空題 1 一元二次方程的一般形式是 2 方程 的二次項係數為一次項係數為常數項為 3 一元二次方程的一般形式是 4 若關於x的一元二次方程的乙個解為1，那麼的值為 二選擇題 1.下列方程是一元二次方程的是 a.b.c.d.2下列說法正確的是 a.沒有一次項，所以不是...
一元二次方程知識點總結練習
知識點歸納與總結 一 概念 一元二次方程的一般形式為 ax2 bx c 0,a 0 它是只含乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程。二 基本思路與方法 解一元二次方程的基本思想方法是通過 降次 將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法 1 直接開平方法 2 配方法 3 公式法 4 因...
一元二次方程知識點總結練習
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