一元二次方程
一.基本概念
定義：形如：（）的方程,叫做一元二次方程的一般式.
例題：若方程是關於x的一元二次方程，求m的值.
二.一元二次方程的解法
（1）直接開方法：, 開平方求出未知數的值：
（2）因式分解法：,因式分解得： ∴，
（3）配方法: ,得：,∴即：
（4）公式法：
解法步驟：先把一元二次方程化為一般式；找出方程中a、b、c等各項係數和常數的值；計算出的值；把a,b,的值代入公式;求出方程的兩個根.
例題：解方程： x(x+12)=8x+12
解：原方程化簡得：,方程中：a=1,b=4,c=-12
==(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴=
∴原方程根為：， -6.
一元二次方程解法練習題：
（1）用直接開方法解一元二次方程
(2x-1) =7
（2）用因式分解法解一元二次方程：
5x(x-3)=6-2x2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)
（3）用配方法解一元二次方程：
x(x+4)=8x+12
（4）用公式法解一元二次方程：
2x2-33x+130=0
（5）選擇適當的方法解下列方程:
三.一元二次方程根的判別式
1.一元二次方程根的判別式：把叫做一元二次方程：（）的根的判別式.利用根的判別式可以不解方程判別一元二次方程跟的情況：
例1.不解方程判斷下列方程跟的情況：
（12） （3）2
解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8， ==(-8)2-4×2×8=64-64=0
0 ∴原方程有兩個相等的實數根.
（2）（3）練習
例2.關於x一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有實數根，求m的取值範圍.
解：當m－1≠0時, 即：m時，該方程是關於x一元二次方程.
∵原方程有實數根
∴，即：δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋44
解得： ∴m的取值範圍是且m.
例3. 求證：關於x的一元二次方程總有實數根.
證明：∵且， ∴總有∴關於x的一元二次方程總有實數根.
四.一元二次方程根與係數的關係
1.定理：設一元二次方程(且)的兩個根分別為和，則：
；特別地：對於一元二次方程，根與係數的關係為：,
注：此定理成立的前提是．也就是說必須在方程有實數根時才可使用.
此定理在其他一些數學書籍中也叫做韋達定理。
2.根與係數關係的應用舉例
（1）利用根與係數關係求方程中的未知係數；
例1.已知方程的乙個根是，求另一根及k的值.
例2.已知關於x的方程的乙個根是另乙個根的2倍，求m的值.
（2）利用根與係數關係求代數式的值；
例1.若是方程的兩個根，求下列各式的值：
注：利用根與係數的關係求值，要熟練掌握以下等式變形：
根與係數的關係充分體現了整體代換的思想．
（3）運用根的判別式和根與係數的關係解綜合題
例1. 已知關於的一元二次方程有兩個實數根和．
求實數的取值範圍當時，求的值．
例2.已知關於的方程，根據下列條件，分別求出的值．
方程兩實根的積為5； 方程的兩實根滿足．
例3.已知一元二次方程．
若方程有兩個實數根，求m的範圍；
若方程的兩個實數根為，，且+3=3，求m的值.
例4. 已知關於x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的兩實數根為x1，x2．
求m的取值範圍；設y = x1 + x2，當y取得最小值時，求相應m的值，並求出最小值．
例5.已知關於的一元二次方程（為常數）．
求證：方程有兩個不相等的實數根；
設，為方程的兩個實數根，且，試求出方程的兩個實數根和的值．
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