.函式的單調性
(1)設那麼
上是增函式;
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式;如果,則為減函式.
注:如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式;如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.
奇偶函式的圖象特徵
奇函式的圖象關於原點對稱,偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來,如果乙個函式的圖象關於原點對稱,那麼這個函式是奇函式;如果乙個函式的圖象關於y軸對稱,那麼這個函式是偶函式.
注:若函式是偶函式,則;若函式是偶函式,則.
注:對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是函式;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
注:若,則函式的圖象關於點對稱;若,則函式為週期為的週期函式.
多項式函式的奇偶性
多項式函式是奇函式的偶次項(即奇數項)的係數全為零.
多項式函式是偶函式的奇次項(即偶數項)的係數全為零.
23.函式的圖象的對稱性
(1)函式的圖象關於直線對稱
.(2)函式的圖象關於直線對稱
.兩個函式圖象的對稱性
(1)函式與函式的圖象關於直線(即軸)對稱.
(2)函式與函式的圖象關於直線對稱.
(3)函式和的圖象關於直線y=x對稱.
25.若將函式的圖象右移、上移個單位,得到函式的圖象;若將曲線的圖象右移、上移個單位,得到曲線的圖象.
互為反函式的兩個函式的關係
.27.若函式存在反函式,則其反函式為,並不是,而函式是的反函式.
幾個常見的函式方程
(1)正比例函式,.
(2)指數函式,.
(3)對數函式,.
(4)冪函式,.
(5)余弦函式,正弦函式,,
. 幾個函式方程的週期(約定a>0)
(1),則的週期t=a;
(2),
或,或,
或,則的週期t=2a;
(3),則的週期t=3a;
(4)且,則的週期t=4a;
(5),則的週期t=5a;
(6),則的週期t=6a.
分數指數冪
(1)(,且).
(2)(,且).
根式的性質
(1).
(2)當為奇數時,;
當為偶數時,.
有理指數冪的運算性質
(1).
(2).
(3).
注:若a>0,p是乙個無理數,則ap表示乙個確定的實數.上述有理指數冪的運算性質,對於無理數指數冪都適用.
33.指數式與對數式的互化式
.34.對數的換底公式
(,且, ,且,).
推論 (,且, ,且, ,).
對數的四則運算法則
若a>0,a≠1,m>0,n>0,則
(1);
(2);
(3).
注:設函式,記.若的定義域為,則,且;若的值域為,則,且.對於的情形,需要單獨檢驗.
對數換底不等式及其推論
若, , , ,則函式
(1)當時,在和上為增函式.
(2)(2)當時,在和上為減函式.
推論:設,,,且,則
(1).
(2).
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